新潟大学 2003年数学第5問解答・解説

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1問題

新潟大学2003年度第5問

点 P は数直線上を原点から出発して，投げたサイコロの目が1, 2, 3 または4なら正の向きに2進み，5または6なら負の向きに1進むとする。点 P の座標を x として，サイコロを n 回投げたとき， $x=15$ となる確率を $p_n$ とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) n 回中，5または6の目が k 回出る確率を n と k を用いて表せ。ただし， $k=0,1,\cdots,n$ とする。

(2) $p_9$ と $p_{10}$ を求めよ。

(3) $n\ge9$ とするとき， $p_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \binom{n}{k}\left(\frac{1}{3}\right)^k\left(\frac{2}{3}\right)^{n-k}$ (k=0,1,...,n)。 (2) p_9=256/2187, p_10=0。 (3) n>=9では、3|nのとき p_n=C(n,(2n-15)/3)2^((n+15)/3)/3^n、3∤nのとき p_n=0。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 5または6の目が出る確率は $1/3$ 。その回数を $K$ とすれば、独立な試行のうちその $k$ 回を選ぶ方法が $\displaystyle \binom nk$ 通りだから $\displaystyle \boxed{P(K=k)=\binom nk(1/3)^k(2/3)^{n-k}}\quad(0\le k\le n).$ (2) $K=k$ のとき最終座標は $x=2(n-k)-k=2n-3k$ 。 $n=9,x=15$ なら $k=1$ だから $\displaystyle \boxed{p_9=\binom91\frac13\left(\frac23\right)^8=\frac{256}{2187}}.$ $n=10$ なら $k=5/3$ は整数でないので $\boxed{p_{10}=0}$ 。 (3) $x=15$ には $k=(2n-15)/3$ が必要である。 $n\ge9$ のもとでは、これが $0\le k\le n$ の整数である条件は $n$ が3の倍数であることに等しい。従って $\displaystyle \boxed{p_n=\begin{cases} \displaystyle\binom{n}{(2n-15)/3}\frac{2^{(n+15)/3}}{3^n},&3\mid n,\\[2mm] 0,&3\nmid n. \end{cases}}\qquad(n\ge9).$

この問題で使う考え方

反復試行の確率
座標の表現
整数条件

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