1山形大学 2009年 数学 第1問解答・解説

第$r$群までに含まれる数の個数は$\displaystyle T_r=1+2+\cdots+r=\frac{r(r+1)}2$である。

(1)(i)について、$T_{13}=91<100\le105=T_{14}$より100は第14群にある。第14群の先頭は92なので、100はその第$100-91=9$番目である。

(1)(ii)第$m$群の先頭の数は$T_{m-1}+1$だから、第$k$番目の数は $$\displaystyle T_{m-1}+k=\frac{m(m-1)}2+k.$$

(2)(i)第$j$段までの点の個数は$\displaystyle T_j=\frac{j(j+1)}2$。したがって$A_n$が第$m$段にあるとき、その段の中での順番は$\displaystyle k=n-T_{m-1}=n-\frac{m(m-1)}2$。第$m$段では座標が$(m,1),(m-1,2),\ldots,(1,m)$の順に並ぶので $$\displaystyle A_n=(m-k+1,k)=\left(\frac{m(m+1)}2-n+1,\ n-\frac{m(m-1)}2\right).$$

(2)(ii)第$j$段の$y$座標の和は$\displaystyle 1+2+\cdots+j=\frac{j(j+1)}2$。第$m$段の直前までの和は $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{m-1}\frac{j(j+1)}2=\frac12\left(\sum\limits _{j=1}^{m-1}j^2+\sum\limits _{j=1}^{m-1}j\right)=\frac{m(m-1)(m+1)}6.$$ 第$m$段では先頭から$k=n-T_{m-1}$個の点までを足すので、その$y$座標の和は$\displaystyle 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}2$。よって求める和は $$\displaystyle \frac{m(m-1)(m+1)}6+\frac{k(k+1)}2,\qquad k=n-\frac{m(m-1)}2.$$

(1)の群の先頭までの個数は三角数$\displaystyle T_m=\frac{m(m+1)}2$。これで100の位置と一般項を得る。(2)のm段内の順序を$k=n-T_{m-1}$と表し、座標とy座標の和を三角数の和で計算する。