山形大学 2009年数学第4問解答・解説

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1問題

山形大学2009年度第4問

確率と期待値について次の問に答えよ.ただし，n は 2 以上の自然数とする.

(1) 箱の中に 1 から n までの数字が 1 つずつ書かれた n 枚のカードが入っている.この中から 1 枚のカードを取り出すとき，書かれている数字が偶数である確率を求めよ.

(2) 2つの箱の中に 1 から n までの数字が 1 つずつ書かれた n 枚のカードがそれぞれ入っている.いま 2つの箱からカードを 1 枚ずつ取り出す.このとき，次の (i), (ii), (iii) に答えよ.

(i) 2枚のカードに書かれている数字の合計が偶数である確率 P を求めよ.

(ii) 2枚のカードに書かれている数字の合計が k になる確率 $P(k)$ を求めよ.ただし， $2 \leq k \leq 2n$ とする.

(iii) 2枚のカードに書かれている数字の合計の期待値 E を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

解答を見る答えはこの解答の中にあります

照合偶奇別の個数、偶数和となる組、和 $k$ の順序対数、期待値はいずれも採用解答と一致する。 $k=n+1$ では両方の式が $n/n^2$ と一致する。判定は PASS。

分類単元は場合の数と確率。方法は偶奇別の個数、独立な選択、順序対の計数、期待値の線形性。テーマは一様カードの和の分布。

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