4滋賀医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

(1) $\displaystyle h(x)=\sum\limits _{k=0}^{n}a_kx^k\ (a_k\text{ は実数})$ と書く。$h(\alpha)=0$ ならば、実数 $a_k$ は共役を取っても変わらないので $$\displaystyle h(\overline{\alpha}) =\sum\limits _{k=0}^{n}a_k\overline{\alpha}^{\,k} =\overline{\sum\limits _{k=0}^{n}a_k\alpha^k} =\overline{h(\alpha)}=0.$$ よって $\overline{\alpha}$ も解である。

(2) 平方の差を用いると $$f(x)=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1), \quad g(x)=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+\sqrt3x+1)(x^2-\sqrt3x+1).$$ 各二次方程式を解いて $$\displaystyle f(x)=0:\quad x=\frac{1+\sqrt3 i}{2},\ \frac{1-\sqrt3 i}{2},\ \frac{-1+\sqrt3 i}{2},\ \frac{-1-\sqrt3 i}{2},$$ $$\displaystyle g(x)=0:\quad x=\frac{\sqrt3+i}{2},\ \frac{\sqrt3-i}{2},\ \frac{-\sqrt3+i}{2},\ \frac{-\sqrt3-i}{2}.$$ したがって、複素数平面での点 $(\Re x,\Im x)$ は、$f(x)=0$ について $$\displaystyle \left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\ \left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),$$ $g(x)=0$ について $$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right),\ \left(\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right),\ \left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right),\ \left(-\frac{\sqrt3}{2},-\frac12\right)$$ である。以下の図では黒丸が $f(x)=0$ の解、白丸が $g(x)=0$ の解を表す。いずれも原点中心の単位円上にある。

(3) 上の恒等式から $$f(x)=(x^2+x+1)(x^2-x+1),\qquad g(x)=(x^2+\sqrt3x+1)(x^2-\sqrt3x+1).$$ 各因子は実係数の二次多項式なので条件を満たす。

(4) 実数 $t$ に対して $$\displaystyle g(t)=\left(t^2-\frac12\right)^2+\frac34>0$$ であり、$g$ は実数解をもたない。したがって一次の整多項式因子はない。もし指定された範囲の整多項式の積に表せるなら、次数の和が $4$ であることから二次式二つの積となる。最高次係数の積が $1$ なので、必要なら両因子の符号を変えて $$g(x)=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)\qquad(p,q,r,s\text{ は整数})$$ と書ける。$x^3$ と定数項の係数比較から $r=-p,\ qs=1$ である。ゆえに $q=s=1$ または $q=s=-1$ となる。$x^2$ の係数比較により $$q+s+pr=2q-p^2=-1,\qquad p^2=2q+1.$$ $q=1$ では $p^2=3$、$q=-1$ では $p^2=-1$ となり、いずれも整数 $p$ に不可能である。よって $g(x)$ は指定された整多項式の積に表せない。

実係数多項式の共役根性は係数の共役を取って示す。f,gを平方差で二次式に分け、全根の座標を複素平面に描く。gに実根がなく、二次×二次の整数係数分解を仮定した係数比較が整数平方の矛盾を生むため、指定された整数係数分解はない。