1滋賀医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

赤玉数 $n$ は整数で $0\le n\le20$。

(1) 各回の赤玉確率は $n/20$ だから $P_n=3(n/20)^2(1-n/20)=3n^2(20-n)/8000$。$F(x)=x^2(20-x)$ とおくと $F\prime(x)=x(40-3x)$ なので、連続区間での最大は $x=40/3$。整数候補 $13,14$ について $F(13)=1183>1176=F(14)$ より、最大は $n=13$。

(2) $\displaystyle Q_n=\binom n2(20-n)/\binom{20}{3}$。$G(n)=n(n-1)(20-n)$ とおけば $G(n+1)-G(n)=3n(13-n)$。従って $n=13$ から $14$ で同値、以後減少する。最大は $n=13,14$ である。

(3) 第 $j$ 回の直前には白玉が $j-1$ 個増えているため、赤玉の確率は順に $n/20,n/21,n/22$。よって $$\displaystyle R_n=\frac n{20}\frac n{21}\frac{22-n}{22}+\frac n{20}\frac{21-n}{21}\frac n{22}+\frac{20-n}{20}\frac n{21}\frac n{22}=\frac{n^2(21-n)}{3080}.$$ $H(n)=n^2(21-n)$ とすると $H(n+1)-H(n)=20-3n(n-13)$。これは $0\le n\le13$ で正、$14\le n\le19$ で負なので、最大は $n=14$。

(1) は復元抽出の二項確率を整数 $n$ で最大化する。(2) は組合せ式の隣接差で同率の2点を確認する。(3) は各試行の赤確率が段階的に下がるため、赤2回の3通りを別々に数えて足し、隣接差の符号で整数最大を決める。