4山口大学 2002年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}.$ $\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}f(x)=1,\qquad \lim\limits _{x\to-\infty}f(x)=-1.$ $\displaystyle f'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}=\frac4{(e^x+e^{-x})^2}>0.$ $f(0)=0$ なので、原点を通る単調増加曲線で、水平漸近線は $y=\pm1$。 $\displaystyle f(a)=\frac12\text{、すなわち }2(e^a-e^{-a})=e^a+e^{-a}\text{、すなわち }e^{2a}=3\text{、すなわち }a=\frac12\log3.$ $\displaystyle f'(a)=\frac4{(\sqrt3+1/\sqrt3)^2}=\frac34.$

分子・分母を$e^x$で割ると $\displaystyle f(x)=\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}$。よって $x\to+\infty$ で $1$、$x\to-\infty$ で $-1$。微分すると $\displaystyle f'(x)=\frac4{(e^x+e^{-x})^2}>0$ なので、全実数で単調増加する。原点で$f(0)=0$、値は$-1$と$1$の間にあり、水平漸近線は$y=-1,y=1$。$f(a)=1/2$を指数表示で解くと $e^a-e^{-a}=(e^a+e^{-a})/2$、したがって$e^{2a}=3$で$a=(\ln3)/2$。$e^a=\sqrt3,\ e^{-a}=1/\sqrt3$より $f'(a)=4/(4/\sqrt3)^2=3/4$。