山口大学 2002年数学第2問解答・解説

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1問題

山口大学2002年度第2問配点 50点

原点を $O$ とする座標空間に3点 $A(2,0,0),\ B(0,3,1),\ C(1,1,2)$ をとり，方程式 $z=-1$ で表される平面を $\alpha$ とする。 $t>2$ とするとき，点 $P(2,1,t)$ を考える。4つの直線 $PO,PA,PB,PC$ と平面 $\alpha$ との交点をそれぞれ $D,E,F,G$ とする。このとき，次の問いに答えよ。

(1) $\overrightarrow{EG}$ を $\overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{EF},\ t$ を用いて表せ。

(2) 点 $G$ が $\triangle DEF$ の周または内部にあるように， $t$ の値の範囲を定めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1) EG = [t(t+3)/(2(t−2)(3t−1))]ED + [(t−1)/(3t−1)]EF. (2) t≥11/3.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle s=\frac{t+1}{t-z_X}$ 。 $\displaystyle D=\left(-\frac2t,-\frac1t,-1\right),\quad E=\left(2,-\frac1t,-1\right),\quad F=\left(-\frac4{t-1},\frac{3t+1}{t-1},-1\right),\quad G=\left(\frac{t-5}{t-2},1,-1\right).$ $\overrightarrow{EG}=a\overrightarrow{ED}+b\overrightarrow{EF}$ 、 $\displaystyle a=\frac{t(t+3)}{2(t-2)(3t-1)},\qquad b=\frac{t-1}{3t-1}.$ $a+b\le1$ であるための必要十分条件は $t(3t-11)\ge0$ である。 $t>2$ と合わせると、 $\displaystyle t\ge\frac{11}{3}$ を得る。

この問題で使う考え方

空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察

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