4新潟大学 2022年 数学 第4問解答・解説

(1) $f(x)=x^2e^x$ とおくと、$f'(x)=e^x x(x+2)$。よって f は $x<-2$ で増加、$-2<x<0$ で減少、$x>0$ で増加する。$\displaystyle f(-2)=\frac{4}{e^2},\quad f(0)=0$。また $x\to-\infty$では$x^2e^x\to0$、$x\to\infty$では$x^2e^x\to\infty$となる。必要なら $f''(x)=e^x(x^2+4x+2)$ より変曲点は $x=-2\pm\sqrt2$ と分かる。

(2) 部分積分を使うと、$\displaystyle \int xe^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=(x-1)e^x+C$。さらに $\displaystyle \int x^2e^x\,dx=x^2e^x-2\int xe^x\,dx=(x^2-2x+2)e^x+C$。

(3) 接点のx座標を u とする。接線は y=f'(u)(x−u)+f(u) で、(t,0) を通る条件は $e^u u\bigl((u+2)t-u(u+1)\bigr)=0$。$u=0$ はどの t に対しても接線 y=0 を与える。$u\ne0$ では $u^2+(1-t)u-2t=0$ となり、判別式は $\Delta=t^2+6t+1$。$\Delta=0$ のとき非零接点が1つなので接線は y=0 と合わせて2本であり、$t=-3\pm2\sqrt2$。$\Delta<0$ では y=0 の1本だけ。$\Delta>0$ では非零根が2つあるが、t=0 のときは根 $0,-1$ で根0が水平接線と重なるため、接線は水平線と u=−1 の接線の2本。$t\ne0$ なら合計3本である。根に対応する接線が重複しないことは傾き $m(s)=e^s s(s+2)$ で確かめられる。$t>0$ では2根の一方は$-2$より大きく$-1$より小さく、他方は正で傾きの符号が異なる。両根が負となる範囲では根 $u<v$ が $(u+2)(v+2)=2$ を満たす。$t<-3-2\sqrt2$ では $w=-(u+2)>\sqrt2$ とおくと $\displaystyle \frac{m(v)}{m(u)}=\frac{4(1+w)e^{w-2/w}}{w^3(w+2)}>1$（この比の対数微分は $\displaystyle \frac{(w^2-2)^2}{w^2(w+1)(w+2)}>0$、$w=\sqrt2$で比は1）。$-3+2\sqrt2<t<0$ では $z=u+2,\quad 1<z<\sqrt2$とおくと $\displaystyle \frac{|m(u)|}{|m(v)|}=\frac{z^3(2-z)e^{z-2/z}}{4(z-1)}>1$（対数微分は $\displaystyle \frac{(z^2-2)^2}{z^2(z-2)(z-1)}<0$、$z=\sqrt2$で比は1）。したがって傾きは異なる。結局 $t=0,\ -3-2\sqrt2,\ -3+2\sqrt2$。

(4) $-1<t<0$ に入るのは $T=-3+2\sqrt2$ だけである。このとき非水平接線の接点は $\displaystyle u=\frac{T-1}{2}=-2+\sqrt2$。$m=f'(u)=2(1-\sqrt2)e^u$ とし、この接線を $L(x)=m(x-T)$ と書く。曲線と2接線で囲まれる領域は、x=Tから0では曲線とx軸の間、x=uからTでは曲線と L の間にある。後者では $g=f-L$ とおくと $g(u)=g'(u)=0$ かつ $g''(x)=f''(x)>0$ ($u<x<T$) なので $g>0$。したがって面積は $\displaystyle \int_u^0 x^2e^x\,dx-\int_u^T L(x)\,dx$。前者は $2-e^u(u^2-2u+2)$、後者は台形の面積 $\displaystyle \frac{(T-u)u^2e^u}{2}$。$u=\sqrt2-2$、$T-u=\sqrt2-1$ を代入して整理すると、求める面積は $2-(5-\sqrt2)e^{\sqrt2-2}$。