2新潟大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) $AD:DB=3:1$ より $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}{4} =\frac{(2,2,-2)+3(2,-2,2)}{4}=(2,-1,1).$$ $AE:EC=3:1$ の外分点 $E$ は $A$ から $C$ の方向へ $\displaystyle \frac{3}{2}$ 倍進んだ点なので、 $$\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{3\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2} =\frac{3(-2,2,2)-(2,2,-2)}{2}=(-4,2,4).$$ (2) $\overrightarrow{DE}=(-6,3,3)=3(-2,1,1)$ なので、 $$F=(2,-1,1)+t(-2,1,1)=(2-2t,-1+t,1+t).$$ $\overrightarrow{BC}=(-4,4,0)$ であるから、 $$\overrightarrow{OF}\cdot\overrightarrow{BC}=12(t-1),\qquad |\overrightarrow{OF}|=\sqrt{6t^2-8t+6},\qquad |\overrightarrow{BC}|=4\sqrt{2}.$$ $\displaystyle \cos\theta=\frac{3\sqrt{7}}{14}>0$ より $t>1$ であり、 $$\displaystyle \frac{12(t-1)}{4\sqrt{2}\sqrt{6t^2-8t+6}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}.$$ 両辺を整理して二乗すると $$2t^2-5t+2=0,\qquad (2t-1)(t-2)=0.$$ $t>1$ より $t=2$ なので、 $$F=(2-4,-1+2,1+2)=(-2,1,3).$$