3新潟大学 2022年 数学 第3問解答・解説

$C=y+x-1,\quad P=y-3x^2+10x+5,\quad Q=y+x^2-6x+5$ とおく。展開すると $$CP=(y+x-1)(y-3x^2+10x+5)=y^2-3x^2y+11xy+4y-3x^3+13x^2-5x-5=A,$$ $$CQ=(y+x-1)(y+x^2-6x+5)=y^2+x^2y-5xy+4y+x^3-7x^2+11x-5=B.$$ よって (1) の商はそれぞれ $P,Q$ である。

(2) さらに $$\displaystyle U=\frac{P+Q}{2}=y-x^2+2x+5$$ とおく。対数の定義域と単調増加性より $$\log A>\log(-B)\quad\text{の必要十分条件は}\quad A>0,\quad B<0,\quad A>-B.$$ したがって求める条件は $$CP>0,\quad CQ<0,\quad A+B=C(P+Q)=2CU>0$$ である。

まず $C>0$ の場合は $P>0,\ Q<0,\ U>0$。これは $$y>1-x,\quad y<-x^2+6x-5,\quad y>x^2-2x-5$$ を意味する。上側の曲線 $y=-x^2+6x-5$ が下側の直線・放物線より上にあるための二つの不等式を調べると、 $$-x^2+6x-5>1-x\quad\text{の必要十分条件は}\quad 1<x<6,$$ $$-x^2+6x-5>x^2-2x-5\quad\text{の必要十分条件は}\quad 0<x<4$$ である。両方を満たす条件は $1<x<4$ となる。この範囲で上記の $y$ の条件を満たせば $P=2U-Q>0$ も成り立つ。よってこの場合の領域は $$\displaystyle 1<x<4,\quad \max(1-x,x^2-2x-5)<y<-x^2+6x-5.$$

次に $C<0$ の場合は $P<0,\ Q>0,\ U<0$。よって $$y<1-x,\quad y>-x^2+6x-5,\quad y<x^2-2x-5.$$ これらの上下関係を表す二つの不等式を調べると、 $$-x^2+6x-5<1-x\quad\text{の必要十分条件は}\quad x<1\ \text{または}\ x>6,$$ $$-x^2+6x-5<x^2-2x-5\quad\text{の必要十分条件は}\quad x<0\ \text{または}\ x>4$$ である。両方を満たす条件は $x<0$ または $x>6$ となる。この範囲で条件を満たせば $P=2U-Q<0$ も成り立つ。したがってこの場合の領域は $$\displaystyle x<0\text{ または }x>6,\quad -x^2+6x-5<y<\min(1-x,x^2-2x-5).$$

図示する際、前者では $1<x<3$ の下側境界が直線 $y=1-x$、$3<x<4$ では放物線 $y=x^2-2x-5$、上側境界は放物線 $y=-x^2+6x-5$ である。後者では下側境界が同じ放物線 $y=-x^2+6x-5$。上側境界は $x<-2$ と $x>6$ で直線 $y=1-x$、$-2<x<0$ で放物線 $y=x^2-2x-5$ となる。すべての境界は対数の定義域または厳密不等号により含まない.

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