広島大学 2024年数学第4問解答・解説

1問題

広島大学2024年度第4問

複素数平面において，点 $1$ を中心とする半径 $\sqrt{2}$ の円を $C$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 点 $\alpha$ が円 $C$ と虚軸との交点であるとき， $\displaystyle \alpha+\frac{1}{\alpha}$ を求めよ。

(2) 円 $C$ 上の点 $z$ に対し，点 $\displaystyle -\frac{1}{z}$ も円 $C$ 上にあることを示せ。

(3) 円 $C$ 上の点 $z$ に対し， $\displaystyle w=z+\frac{1}{z}$ とする。複素数 $w,z$ は $\displaystyle |w-2|=\frac{2}{|z|}$ を満たすことを示せ。

(4) 円 $C$ 上の点 $z$ に対し，(3)で定めた複素数 $w$ は $|w-2||w+2|=4$ を満たすことを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $0$ 。 (2) $\displaystyle -\frac1z$ はC上。 (3) $\displaystyle |w-2|=\frac2{|z|}$ 。 (4) $|w-2||w+2|=4$ 。

解答を見る途中式つきの解答

円Cの方程式は $|z-1|=\sqrt2$ です。したがって $z=0$ はC上にありません。

(1)

虚軸上の点を $\alpha=ti$ （tは実数）とおくと、円上にある条件から

$|ti-1|^2=t^2+1=2$

なので $t=\pm1$ 、すなわち $\alpha=\pm i$ です。いずれの場合も $1/\alpha=-\alpha$ だから、 $\alpha+1/\alpha=0$ です。

(2)

円上のzについて $|z-1|^2=2$ を展開すると

$|z|^2-z-\overline z+1=2,\qquad |z|^2=z+\overline z+1.$

よって

$|z+1|^2=|z|^2+z+\overline z+1=2|z|^2.$

したがって

$\displaystyle \left|-\frac1z-1\right|=\frac{|z+1|}{|z|}=\sqrt2.$

これは点 $-1/z$ と円の中心1との距離が√2であることを表すので、 $-1/z$ はC上にあります。

(3)

$w=z+1/z$ より

$\displaystyle w-2=\frac{(z-1)^2}{z}.$

絶対値をとり、 $|z-1|^2=2$ を使えば

$\displaystyle |w-2|=\frac{|z-1|^2}{|z|}=\frac2{|z|}.$

(4)

同様に

$\displaystyle w+2=\frac{(z+1)^2}{z}.$

(2)で得た $|z+1|^2=2|z|^2$ から $|w+2|=2|z|$ です。これと(3)を掛け合わせると

$\displaystyle |w-2||w+2|=\frac2{|z|}\,2|z|=4.$

この問題で使う考え方