3広島大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)　 直線 $P_nQ_n$ の方程式は $bx+ay=abn$。格子点 $(x,y)$ では $x,y$ は整数であり、この式から $a\mid bx$。$a,b$ は互いに素なので $a\mid x$、従って $x=ak$（$k$ は整数）と書ける。式へ代入すると $y=b(n-k)$。$x,y\ge0$ より $0\le k\le n$。逆にこの範囲の各 $k$ は条件を満たすので、示された点がすべてである。

(2)　 長方形 $OPRQ$ の格子点数は $(a+1)(b+1)$。対称移動 $(x,y)\mapsto(a-x,b-y)$ は三角形 $OPQ$ を三角形 $PRQ$ に移し、共通部分は辺 $PQ$。 (1)を $n=1$ として使うと辺PQ上の格子点は2個である。三角形 $OPQ$ の格子点数を $T$ とすれば $$\displaystyle (a+1)(b+1)=2T-2,\qquad T=\frac{ab+a+b+3}{2}.$$

(3)　 $0\le x\le an$、$0\le y\le bn$ で表される長方形の格子点数は $(an+1)(bn+1)$。対称移動 $(x,y)\mapsto(an-x,bn-y)$ で、長方形は三角形 $OP_nQ_n$ とその対称な三角形の和集合となる。共通の斜辺上の格子点は(1)より $n+1$ 個である。三角形の格子点数を $T_n$ とすると $$\displaystyle (an+1)(bn+1)=2T_n-(n+1),\qquad T_n=\frac{abn^2+(a+b+1)n+2}{2}.$$

(4)　 $z=k$（$k=0,1,\ldots,n$）の断面を考える。四面体内の格子点は $$\displaystyle x,y\ge0,\qquad \frac{x}{an}+\frac{y}{bn}+\frac{k}{n}\le1,$$ すなわち $bx+ay\le ab(n-k)$ を満たす。この断面は問(3)で $n$ を $m=n-k$ に置き換えた三角形であり、その格子点数は $$\displaystyle \frac{abm^2+(a+b+1)m+2}{2}.$$ $m=0$ でもこの式は原点1点を数える。断面は互いに交わらないため、全体の格子点数は $$\displaystyle \begin{aligned}\frac12\sum\limits _{m=0}^{n}\{abm^2+(a+b+1)m+2\} &=\frac12\left\{ab\frac{n(n+1)(2n+1)}6+(a+b+1)\frac{n(n+1)}2+2(n+1)\right\}\\ &=\frac{(n+1)\{abn(2n+1)+3(a+b+1)n+12\}}{12}.\end{aligned}$$

直線 $P_nQ_n$ の式 $bx+ay=abn$ と $(a,b)=1$ から $a\mid x$、$x=ak$、$y=b(n-k)$ を得る。長方形と対角線で分けた合同な2三角形の格子点数を辺上の格子点数で補正し、2次元三角形の公式を得る。四面体は整数の高さ $z$ ごとに、$m=n-z$ とした三角形 $OP_mQ_m$ の断面へ分け、その個数を $m=0,\ldots,n$ で合計する。