1広島大学 2024年 数学 第1問解答・解説

$A,B,C,D,E$ の5人が，それぞれゲーム $\alpha$ とゲーム $\beta$ の2種類のゲームを行った。ゲーム $\alpha$ の得点を $x$，ゲーム $\beta$ の得点を $y$ で表す。下の表はそれぞれのゲームにおける得点である。ただし，$a,b$ は整数である。なお，得点が負になることもあり得る。 $$\begin{array}{c|ccccc} & A & B & C & D & E\\ \hline \text{得点 }x & 7 & 6 & 8 & a & 4\\ \text{得点 }y & 0 & -4 & -1 & 2 & b \end{array}$$ ゲーム $\alpha$ の得点 $x$ の平均値は7であるとし，ゲーム $\beta$ の得点 $y$ の平均値を $m$ とする。次の問いに答えよ。 　 (1) $a$ の値を求めよ。 　 (2) $p,q$ は実数で，$p\neq 0$ とする。ゲーム $\beta$ の得点 $y$ を $z=py+q$ により変換し，新たな変量 $z$ を作成する。$z$ の分散を $s_{z}^{2}$，二つの変量 $x,z$ の共分散を $s_{xz}$ とする。このとき，$s_{z}^{2}$ と $s_{xz}$ を $p,q,m$ のうちの必要なものを用いて表せ。ただし，変量 $x$ と $z$ の共分散は $x$ の偏差と $z$ の偏差の積の平均値である。 　 (3) 変量 $x$ と(2)で作った変量 $z$ の相関係数が $\displaystyle \frac{3}{4}$ であるとき，$m$ と $b$ の値を求めよ。また，$p$ が正であるか負であるかを答えよ。