4鹿児島大学 2015年 旧教育課程 数学 第4問解答・解説

(1) $$f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x).$$ $x>0$ では $e^{-x}>0$ なので、$0<x<1$ で $f'(x)>0$、$x>1$ で $f'(x)<0$ である。したがって、$f$ は $0<x<1$ の範囲で増加し、$x>1$ の範囲で減少する。よって $x=1$ で唯一の極大値 $$\displaystyle f(1)=\frac1e$$ をとり、極小値はない。

次に、 $$\displaystyle f''(x)=\frac{d}{dx}\{e^{-x}(1-x)\}=e^{-x}(x-2).$$ したがって、$0<x<2$ では $f''(x)<0$、$x>2$ では $f''(x)>0$ であり、曲線は $0<x<2$ で上に凸、$x>2$ で下に凸である。$x=2$ で凹凸が変わるので、変曲点は $$\displaystyle \left(2,\frac{2}{e^2}\right)$$ である。また、$f(x)>0$ であり、$\displaystyle \lim\limits _{x\to0+}f(x)=0$ と問題文で与えられた $\displaystyle \lim\limits _{x\to+\infty}f(x)=0$ を使うと、右端で $x$ 軸に近づく。以上より、右図の概形となる（$x=0$ は定義域に含まれないので、原点は開いた点で示した）。

(2) $x>0$ で $f(x)>0$ だから、端点 $x=0$ を極限で補った面積は $$\displaystyle g(t)=\lim\limits _{a\to0+}\int_a^t xe^{-x}\,dx.$$ 部分積分により $$\displaystyle \int xe^{-x}\,dx=x(-e^{-x})-\int(-e^{-x})\,dx=-(x+1)e^{-x}+C.$$ したがって $$\displaystyle g(t)=\lim\limits _{a\to0+}\left[-(x+1)e^{-x}\right]_a^t=1-(t+1)e^{-t}.$$

(3) 同じく $f(x)>0$ より、 $$\displaystyle h(t)=\int_t^{t+1}xe^{-x}\,dx =\left[-(x+1)e^{-x}\right]_t^{t+1} =(t+1)e^{-t}-(t+2)e^{-(t+1)}.$$ これを $t$ で微分すると、 $$\displaystyle h'(t)=-te^{-t}+(t+1)e^{-(t+1)} =e^{-t}\left(\frac{t+1}{e}-t\right) =\frac{e^{-t}}{e}\{1-(e-1)t\}.$$ $e^{-t}/e>0$ かつ $e-1>0$ なので、$h'(t)>0$ は $0<t<1/(e-1)$ のとき、$h'(t)=0$ は $t=1/(e-1)$ のとき、$h'(t)<0$ は $t>1/(e-1)$ のときである。従って、$h(t)$ はこの点まで増加し、その後減少するから、最大にする値は $$\displaystyle \boxed{t=\frac1{e-1}}.$$ 検算として、停留条件は区間両端の関数値が等しいことと一致する。実際、$f(t+1)=f(t)$ は $(t+1)e^{-(t+1)}=te^{-t}$、すなわち $t+1=et$ であり、同じく $t=1/(e-1)$ を得る。