2名古屋大学 2011年 数学 第2問解答・解説

追加モデル（原文に明記なし）：毎回4枚から1枚を等確率で選び、引いた札を戻してから次回の抽出を行う独立試行と仮定する。各成分を $A_t=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ と書くと、$\det A_t=ad-bc$ である。 成分 a,b,c,d のいずれかを 1 増やしたときの行列式の増分は、それぞれ d,-c,-b,a である。 したがって、逆行列をもたない行列から次の行列も逆行列をもたないためには、増やす成分の対角位置の成分が 0 でなければならない。 初期行列の非零成分はない。帰納的に、A_0,$\ldots$,A_m がすべて逆行列をもたないなら、A_m の非零成分は一つの行または一つの列に限られる。 実際、一つの行だけに非零成分がある状態から他方の行の成分を増やしても逆行列をもたない状態が保たれるのは、同じ列の上側成分が 0 の場合だけであり、そのとき非零成分は一つの列に収まる。列の場合も同様である。 ここで m=n-1 とする。第一行だけに非零成分をもち、その二成分がともに正となる確率は、\ q_m=$\displaystyle \frac{2^m-2}{4^m}$. なぜなら、m 回すべてで第一行を選び、その二つの成分の双方を少なくとも一度選ぶ列は 2^m-2 通りで、全列は 4^m 通りだからである。 同じ確率 q_m は、第二行だけ、第一列だけ、第二列だけで二成分がともに正となる各場合にも成り立つ。 最後の第 n 試行で初めて逆行列をもつ確率を数える。m 回の選択が一つの成分に集中した場合は、該当する状態の総確率が 4$\cdot$4^{-m} であり、最後に逆行列をもつようにする札は4枚中1枚なので寄与は 4^{-m} である。 一つの行または列の二成分がともに正の場合は、そのような状態が4種類あり、それぞれ確率 q_m である。最後に反対側の二成分のどちらを増やしても逆行列をもつので、寄与は 4q_m$\cdot$$\displaystyle \frac24$=2q_m となる。 これ以外の状態は、途中の全行列が逆行列をもたないという条件のもとでは生じない。よって\ p_n=2q_{n-1}+4^{-(n-1)} =$\displaystyle \frac{2(2^{n-1}-2)+1}{4^{n-1}}$ =$\displaystyle \frac{2^n-3}{4^{n-1}}$.\ したがって p_2=$\displaystyle \frac{4-3}{4}$=$\displaystyle \frac14$,　 p_3=$\displaystyle \frac{8-3}{16}$=$\displaystyle \frac5{16}$.