3名古屋大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1) P=(x,y) とおく。OP:AP=1:a は AP=a·OP と同じで、両辺を2乗すると (x−1)²+y²=a²(x²+y²)、 すなわち (a²−1)(x²+y²)+2x−1=0。 a=1なら 2x−1=0、つまり直線 x=1/2。 a≠1なら a²−1 で割って平方完成すると (x+1/(a²−1))²+y²=a²/(a²−1)²。 したがって中心 (−1/(a²−1),0)、半径 a/|a²−1| の円である。

(2) P=(x,y)、r=OP>0、u=r² とおく。条件は AP=ar, BP=br。距離の2乗を使い、OP²=uを基準に整理すると 2x=1+(1−a²)u, 2y=1+(1−b²)u。 これらを x²+y²=u に代入すると Cu²−2(a²+b²)u+2=0, ただし C=(1−a²)²+(1−b²)² を得る。C>0の場合、uの二次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上であること。計算すると Δ=4{4(a²+b²−1)−(a²−b²)²}。 括弧内は ((a+b)²−2)(2−(a−b)²) と因数分解できる。a,b>0なので a+b>|a−b| であり、積が0以上となる条件は a+b≧√2 かつ |a−b|≦√2。 この条件のもとでは、C>0なら二根の積は2/C>0、和は2(a²+b²)/C>0なので、実数根は正である。各正の根uから上の式でx,yを定めれば、二次方程式の条件により x²+y²=u となり、さらに AP²=a²u, BP²=b²u も成り立つので、実際に条件を満たすPが得られる。C=0なら a=b=1 で、元の式は −4u+2=0 をもち、同じ条件を満たす。 よって存在条件は a,b>0, a+b≧√2, |a−b|≦√2。ab平面では第一象限で、a+b=√2 の直線より上、かつ b=a±√2 の2直線の間を塗る。境界はa,b>0の範囲で含む。ただしa,b>0は厳密条件なので、軸上の点(0,√2),(√2,0)は含まない。