1名古屋大学 2011年 数学 第1問解答・解説

(1) x軸に垂直な断面は、内半径 $1$、外半径 $2-3s$ の円環であり、x方向の長さは $$(2+4s)-1=1+4s.$$ である。 したがって $$V(s)=\pi(1+4s)\{(2-3s)^2-1\} =\pi(3-39s^2+36s^3).$$ その導関数は $$V'(s)=\pi(-78s+108s^2)=6\pi s(18s-13).$$ 区間 $\displaystyle -\frac14<s<\frac13$ では $18s-13<0$ である。よって $s<0$ で $V'(s)>0$、$s>0$ で $V'(s)<0$ となるから、最大値は $s=0$ でとる。このとき $V(0)=3\pi$ である。

(2) $s=0$ の立体は $$1\le x\le2,\qquad 1\le\sqrt{y^2+z^2}\le2$$ で表される。y軸からの距離を $\rho=\sqrt{x^2+z^2}$ とする。固定した $y$ で回転した断面を考えると、$|y|\le1$ では $z^2$ の範囲は $1-y^2\le z^2\le4-y^2$ なので $$2-y^2\le\rho^2\le8-y^2,\qquad A(y)=\pi\{(8-y^2)-(2-y^2)\}=6\pi.$$ 一方、$1\le|y|\le2$ では $0\le z^2\le4-y^2$ なので $$1\le\rho^2\le8-y^2,\qquad A(y)=\pi(7-y^2).$$ $|y|>2$ では断面はない。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} \operatorname{Vol}(L) &=\int_{-1}^{1}6\pi\,dy+2\int_1^2\pi(7-y^2)\,dy\\ &=12\pi+2\pi\left[7y-\frac{y^3}{3}\right]_1^2 =12\pi+\frac{28\pi}{3} =\frac{64\pi}{3}. \end{aligned}$$