4名古屋大学 2011年 数学 第4問解答・解説

解説

係数と整数根の和・積を比較します。定数項が正で一次係数が正なので、各二次方程式の整数根はどちらも負です。根を $-r,-s$ と $-u,-v$（$r,s,u,v$ は正整数）と置けば、最初の式から $a=r+s, b=rs$、次の式から $b=u+v, a=uv$ が得られます。

$a=b$ の場合は $r+s=rs$ を変形した $(r-1)(s-1)=1$ から $r=s=2$、よって $a=4$ です。元の両式は $(t+2)^2=0$ となるため条件も満たします。

$a>b$ の場合、最初の関係は $(r-1)(s-1)<1$ を与えます。左辺は非負整数ですから0であり、少なくとも一方が1です。もう一方を $n$ とすると $(a,b)=(n+1,n)$。二つ目の方程式に対応する $u,v$ を使うと、$u+v=n, uv=n+1$ から $(u-1)(v-1)=2$ となり、$u,v$ は2と3に限られます。したがって $n=5$ です。因数分解で $(6,5)$ が実際に条件を満たすことも確認できます。