1北海道大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 与えられた等式を展開して整理すると $$n^{2}+n+a=n^{2}+2nk+k^{2},\qquad a=k^{2}+(2k-1)n.$$ したがって、 $$a-(k^{2}+2k-1)=(2k-1)(n-1)\ge 0$$ である。ここで自然数 $n,k$ は正であるから $n-1\ge0$、$2k-1\ge1$ である。よって $a\ge k^{2}+2k-1$。

(2) $n(n+1)+14=m^{2}$ とおく。$m^{2}=n^{2}+n+14>n^{2}$ なので $m>n$ であり、$k=m-n$ は正の整数である。(1) の式に $a=14$ を代入すると $$14=k^{2}+(2k-1)n\quad\text{かつ}\quad 14\ge k^{2}+2k-1.$$ もし $k\ge4$ なら $$k^{2}+2k-1-23=(k-4)(k+6)\ge0$$ となって上の不等式に反する。したがって $k=1,2,3$ である。等式 $14=k^{2}+(2k-1)n$ に順に代入すると、 $$\displaystyle k=1: n=13,\qquad k=2: n=\frac{10}{3},\qquad k=3: n=1.$$ $n$ は自然数なので $k=2$ の場合は除く。実際、$n=1$ では $n(n+1)+14=16=4^{2}$、$n=13$ では $n(n+1)+14=196=14^{2}$。よって求める自然数は $n=1,13$。

（1）等式を展開しaをk,nで表す。n,kが正の整数であることから下限を得る。（2）平方根mとnとの差kを正の整数とおき、（1）の下限でkを1,2,3に絞り、整数条件を確認する。n=1,13はいずれも元の式を満たす。