4北海道大学 2017年 数学 第4問解答・解説

各回の出目は $1,2,\ldots,6$ のいずれかであり、回数は出目の累積和が初めて $10$ 以上になるまでである。第 $n$ 回で終了するには、第 $n-1$ 回までの累積和が $10$ 未満で、第 $n$ 回で $10$ 以上になればよい。

(1) 第10回で終了するには、第9回までの合計が $10$ 未満である。一方、9個の出目は全て1以上なので合計は9以上。したがって合計は9で、最初の9回が全て1に限る。このとき第10回はどの目でも終了するから $$\displaystyle p_{10}=\left(\frac16\right)^9.$$

(2) 第9回で終了するには、第8回までの合計が8または9である。合計8となる出方は全て1の1通りで、第9回は2〜6の5通り。合計9となる出方は2が1回、1が7回の並べ方8通りで、第9回は6通り全てが終了になる。よって有利な9回分は $$1\cdot5+8\cdot6=53$$ 通りであり、全出方は $6^9$ 通りだから $$\displaystyle p_9=\frac{53}{6^9}.$$

(3) 第3回で終了するには、第2回までの合計を $s$ として $s<10$ かつ第3回の出目が $10-s$ 以上でなければならない。第3回の最大値は6なので $4\le s\le9$。順序を区別した最初の2回の出方の数は、$s=4,5,6,7,8,9$ に対してそれぞれ $3,4,5,6,5,4$ 通りであり、第3回の選択肢はそれぞれ $1,2,3,4,5,6$ 通り。したがって有利な3回分は $$3\cdot1+4\cdot2+5\cdot3+6\cdot4+5\cdot5+4\cdot6=99$$ 通り。全出方は $6^3=216$ 通りなので $$\displaystyle p_3=\frac{99}{216}=\frac{11}{24}.$$

終了回の直前累積和を分けて数える。p10は最初の9回が全て1、p9は最初の8回の和が8または9、p3は最初の2回の和が4〜9となる場合を数える。