5北海道大学 2017年 数学 第5問解答・解説

p.3問5の座標A(1,0),B(3,1),C(2,2)、距離二乗和≦aと包含方向を画像照合。p.1はH29数学、5問全解答。大学・医学科は保存済み書誌対応による。

3点の重心を $G=(2,1)$、点 $P$ を $(x,y)$ とする。このとき $$\begin{aligned} AP^2+BP^2+CP^2 &=(x-1)^2+y^2+(x-3)^2+(y-1)^2+(x-2)^2+(y-2)^2\\ &=3(x-2)^2+3(y-1)^2+4\\ &=3PG^2+4. \end{aligned}$$

(1) $PG^2\ge 0$ なので左辺の最小値は $P=G$ のときの $4$ である。よって $D$ が少なくとも一つの点を含むのは $a\ge 4$ のときである。

(2) 点 $P$ が $T$ に属するなら、$P$ は三角形の内部または辺上にあるので、その座標は $1\le x\le 3$、$0\le y\le 2$ を満たす。したがって $$PG^2=(x-2)^2+(y-1)^2\le 1+1=2.$$ 等号は $P=A$ で成り立つので、$T$ 上での $AP^2+BP^2+CP^2$ の最大値は $3\cdot2+4=10$。従って $D$ が $T$ を含むための必要十分条件は $a\ge10$ である。

(3) (1)のもとで $D$ は中心 $G$、半径 $r=\sqrt{(a-4)/3}$ の閉円盤である。三角形 $T$ は $$x-2y-1\le0,\qquad x+y-4\le0,\qquad 2x-y-2\ge0$$ で表される3つの半平面の共通部分である。中心 $G=(2,1)$ から各境界直線までの距離は、それぞれ $$\displaystyle \frac{|2-2\cdot1-1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}=\frac1{\sqrt5},\qquad \frac{|2+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac1{\sqrt2},\qquad \frac{|2\cdot2-1-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac1{\sqrt5}.$$ 中心が各半平面の内側にあるので、この円盤が $T$ に含まれる条件は $r\le1/\sqrt5$。よって $$\displaystyle \sqrt{\frac{a-4}{3}}\le\frac1{\sqrt5} \quad\text{すなわち}\quad 4\le a\le\frac{23}{5}.$$