1宮崎大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 円 $C$ の方程式は $$(x-s)^2+(y-t)^2=1.$$ ここで $a=\sqrt{1-t^2}$、$b=\sqrt{1-s^2}$ とおく。$s^2+t^2<1$ から $a>s$、$b>t$。したがって軸との交点は $$K=(s+a,0),\quad M=(s-a,0),\quad L=(0,t+b),\quad N=(0,t-b).$$ 四角形は原点を内部に含み、原点から4頂点へ引いた線で4つの直角三角形に分かれる。各三角形の面積を足すと $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\frac12\{(s+a)(t+b)+(a-s)(t+b)\\ &\qquad +(a-s)(b-t)+(s+a)(b-t)\}\\ &=2ab=2\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}. \end{aligned}$$

(2) $t=1-s$ より $s^2+t^2<1$ は $0<s<1$ と同値である。$u=s(1-s)$ とおくと $$\displaystyle 0<u\le\frac14,\qquad u=\frac14-\left(s-\frac12\right)^2.$$ また $$(1-s^2)\{1-(1-s)^2\}=s(1-s)(1+s)(2-s)=u(2+u).$$ 従って $$\displaystyle \frac{9}{16}-u(2+u)=\left(\frac14-u\right)\left(\frac94+u\right)\ge0,$$ 等号は $u=1/4$、すなわち $s=t=1/2$ のときに成立する。この点は元の条件 $s,t>0$、$s^2+t^2<1$ を満たす。よって $$\displaystyle S\le2\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac32,$$ 最大値は $\boxed{3/2}$。