3宮崎大学 2018年 数学 第3問解答・解説

点Qの座標を$(x,y)$とおく。Qは頂点$(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2)$をもつ四角形の周上にあるから、$|x|+|y|=2$である。ここで$t=|\overrightarrow{OQ}|^2=x^2+y^2$とおくと、$t=(|x|+|y|)^2-2|xy|=4-2|xy|$である。また、$0\le |xy|\le 1$（$(|x|-|y|)^2\ge0$より）なので、$2\le t\le4$となる。$t=2$は各辺の中点で、$t=4$は頂点で実現する。$|OQ|=\sqrt t$は$\sqrt2\le\sqrt t\le2$を満たし、$|2-1|<\sqrt t<2+1$であるから、いずれのQに対しても長さ$OP=1, PQ=2, OQ=\sqrt t$の三角形を作るPが存在する。したがって$t$の両端も条件を満たす点P,Qで実現する。

(1) $PQ=2$より、ベクトルの内積について$4=|\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}|^2=1+t-2\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}$である。よって$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OQ}=(t-3)/2$。これは$t$の増加とともに増加するから、$t=2$で最小値$-1/2$、$t=4$で最大値$1/2$をとる。

(2) $\theta=\angle POQ$とする。余弦定理より$\cos\theta=(1+t-4)/(2\sqrt t)=(t-3)/(2\sqrt t)$。直線PQまでのOからの距離を$h$とすると、三角形OPQの面積を底辺PQで表して$h$、二辺OP,OQとその間の角で表して$(\sqrt t/2)\sin\theta$だから、$h=(\sqrt t/2)\sin\theta$である。したがって、

$\displaystyle h^2=\dfrac{t}{4}(1-\cos^2\theta)=\dfrac{4t-(t-3)^2}{16}=\dfrac{-t^2+10t-9}{16}$。

$2\le t\le4$において、$f(t)=-t^2+10t-9$は増加する。実際、$2\le t_1<t_2\le4$なら$f(t_2)-f(t_1)=(t_2-t_1)(10-t_1-t_2)>0$である。よって$h^2$、従って$h$も$t$とともに増加する。$t=2$で$h^2=7/16$、$t=4$で$h^2=15/16$となるので、距離の最小値は$\sqrt7/4$、最大値は$\sqrt{15}/4$である。