5九州大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1)　 条件をみたす $k$ が存在するには $n\ge4$ である。$\displaystyle r=\min(k,n-k)$ とおくと、$2\le r\le n/2$ であり、対称性から $\displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n}{r}$ である。二項係数の階乗表示より、$2\le j<r$ に対して $$\displaystyle \frac{\binom{n}{j+1}}{\binom{n}{j}}=\frac{n-j}{j+1}\ge1,$$ となる。実際、$j<r\le n/2$ から $2j<n$ なので $n-j\ge j+1$ である。したがって $$\displaystyle \binom{n}{k}=\binom{n}{r}\ge\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}2>n,$$ 最後の不等号は $n\ge4$ による。これで示された。

(2)　 自然数に0を含める定義でも、$k=0$ なら $\displaystyle \binom{n}{0}=1$ であり素数ではない。また $k=n$ でも $\displaystyle \binom{n}{n}=1$ である。以下 $1\le k\le n-1$ とする。そのうち $k=1$ または $k=n-1$ なら $\displaystyle \binom{n}{k}=n$ だから、等式 $\displaystyle \binom{n}{k}=p$ を満たすのはそれぞれ $n=p$ のときである。

残る場合は $2\le k\le n-2$ である。このとき (1) より $\displaystyle \binom{n}{k}>n$ なので、もし $\displaystyle \binom{n}{k}=p$ なら $p>n$ となる。一方、二項係数の階乗表示から $$n(n-1)\cdots(n-k+1)=p\,k!$$ である。よって素数 $p$ は左辺の積を割る。素数が積を割るならその因子の少なくとも一つを割るが、左辺の各因子は $1$ 以上 $n$ 以下で、すべて $p$ より小さい。矛盾である。従ってこの場合に解はない。

以上より、求める組は $$(n,k)=(p,1),\quad (p,p-1)$$ である。ただし $p=2$ では二つの表示は同じ組 $(2,1)$ を表す。