4香川大学 2019年 数学 第4問解答・解説

四面体の辺上の4点 4点 $P,Q,R,S$ を含む平面を $\pi$ とする。この平面は四面体のどの頂点も通らない。 実際、もし $A$ が平面上にあれば、$A,P$ を通る直線 $AB$ が平面に含まれるので $B$ も平面上にある。同様に $A,Q$ から $C$、$B,R$ から $D$ も平面上となり、四面体であることに反する。他の頂点についても辺を順にたどれば同じ矛盾を得る。

$P,Q$ はそれぞれ辺 $AB,AC$ の内点なので、$A$ と $B,C$ は平面 $\pi$ の反対側にある。また $R,S$ は辺 $BD,CD$ の内点だから、$D$ は $B,C$ と反対側にある。従って $A,D$ が同じ側、$B,C$ がもう一方の側にある。

各頂点から平面への距離を正の数 $h_A,h_B,h_C,h_D$ とする。辺の両端から平面へ垂線を下ろすと、その辺と平面の交点を共有する2つの直角三角形は相似である。従って線分の比は高さの比に等しい。辺が平面に垂直な場合も、各線分の長さ自体が高さなので同じ式となる。 具体的には、辺 $AB$ と平面 $\pi$ のなす角を $\theta$ とすると $h_A=AP\sin\theta$、$h_B=PB\sin\theta$ である。これは $\theta=\pi/2$ の場合も成立する。他の3辺も同様である。 これを4辺に適用すると、 $$\displaystyle \frac{AP}{PB}=\frac{h_A}{h_B},\qquad \frac{BR}{RD}=\frac{h_B}{h_D},\qquad \frac{AQ}{QC}=\frac{h_A}{h_C},\qquad \frac{CS}{SD}=\frac{h_C}{h_D}.$$ よって両辺とも $h_A/h_D$ に等しいことから、 $$\displaystyle \boxed{\frac{AP}{PB}\frac{BR}{RD}=\frac{AQ}{QC}\frac{CS}{SD}}.$$