1福井大学 2025年 数学 第1問解答・解説

(1) $\alpha=a+bi$（$a,b\text{ は実数}$）とおく。条件 $|\alpha|=|\alpha-2|$ を二乗して整理すると $$a^2+b^2=(a-2)^2+b^2$$ となる。したがって $a=1$、すなわち $\operatorname{Re}(\alpha)=1$ である。

以下、$\alpha=1+it$（$t\text{ は実数}$）とおく。条件式は $$\alpha^2+\beta^2-2\alpha-2\beta+2 =(\alpha-1)^2+(\beta-1)^2=0$$ と変形できるので、$(\beta-1)^2=t^2$ である。よって $$(\beta-1-t)(\beta-1+t)=0$$ から $\beta=1+st$（$s=1$ または $s=-1$）を得る。

(2) $z=\alpha\beta$ とし、$X=\operatorname{Re}(z)$、$Y=\operatorname{Im}(z)$ とおくと $$X=1+st,\qquad Y=t+st^2=t(1+st)=tX.$$ ここで $t=s(X-1)$ だから、$s=1$ では $Y=X^2-X$、$s=-1$ では $Y=-X^2+X$ となる。逆に、任意の実数 $X$ に対し、$s$ を $1,-1$ のいずれかとして $t=s(X-1)$ とすればその点が得られる。したがって軌跡は $$Y=X^2-X\quad\text{または}\quad Y=-X^2+X\qquad(X\text{ は実数})$$ の二つの放物線全体である。頂点はそれぞれ $\displaystyle \left(\frac12,-\frac14\right)$、$\displaystyle \left(\frac12,\frac14\right)$、交点は $(0,0)$ と $(1,0)$ である。

矢印は各放物線が両側へ続くことを表す。

(3) 偏角の条件が定義されるため $t\ne0$ である。また $$\displaystyle \frac{\beta-1}{\alpha-1}=\frac{st}{it}=-si$$ だから、偏角が $\displaystyle \frac\pi2$ となるのは $s=-1$ の場合である。したがって $\beta=1-t$。

三次方程式の係数は実数なので、$\alpha=1+it$ が根ならその共役 $\bar\alpha=1-it$ も根である。$t\ne0$ なので二根は異なり、残る根は実数 $\beta=1-t$ である。解と係数の関係から、根の二つずつの積の和は $\displaystyle \frac{18}{8}=\frac94$ だから $$\displaystyle \alpha\bar\alpha+\beta(\alpha+\bar\alpha) =(1+t^2)+2(1-t)=t^2-2t+3=\frac94.$$ よって $$\displaystyle (t-\tfrac12)(t-\tfrac32)=0.$$ さらに根の積は $\displaystyle \frac58$ なので $$\displaystyle (1+t^2)(1-t)=\frac58.$$ $\displaystyle t=\frac12$ ではこの等式が成り立つが、$\displaystyle t=\frac32$ では左辺が $\displaystyle -\frac{13}{8}$ となる。したがって $\displaystyle t=\frac12$ であり、 $$\displaystyle \alpha=1+\frac i2,\qquad \beta=\frac12.$$ 根の和 $\displaystyle \frac52$ は $\displaystyle -\frac{k}{8}$ に等しいから $k=-20$ である。実際、 $$8x^3-20x^2+18x-5=(2x-1)(4x^2-8x+5),$$ その根は $\displaystyle \frac12,1+\frac i2,1-\frac i2$ となり、求めた値と一致する。