2福井大学 2025年 数学 第2問解答・解説

置く $a=\log 2$、$N=e^x-e^{-x}$、$D=e^x+e^{-x}$ とすると $f=N/D$ であり、$D>0$ である。また $N'=D$、$D'=N$ だから、商の微分法により $$\displaystyle f'(x)=\frac{N'D-ND'}{D^2} =\frac{D^2-N^2}{D^2} =1-\left(\frac ND\right)^2 =1-\{f(x)\}^2.$$ さらに $$\displaystyle f(0)=0,\qquad f(a)=\frac{2-\frac12}{2+\frac12}=\frac35.$$

(2) $f'=1-f^2$ を積分すると $$\displaystyle I_2=\int_0^a f(x)^2\,dx =\int_0^a(1-f'(x))\,dx =a-f(a)+f(0) =\log 2-\frac35.$$

(3) 合成関数の微分から $$\{f^{n+1}\}'=(n+1)f^n f' =(n+1)(f^n-f^{n+2}).$$ これを $0$ から $a$ まで積分すると $$f(a)^{n+1}-f(0)^{n+1} =(n+1)(I_n-I_{n+2}).$$ 端点値を代入して $$\displaystyle I_{n+2}=I_n-\frac{(3/5)^{n+1}}{n+1} \qquad(n=1,2,\ldots).$$ $n=2$ と (2) の結果から $$\displaystyle I_4=I_2-\frac{(3/5)^3}{3} =\log 2-\frac35-\frac9{125} =\log 2-\frac{84}{125}.$$