3旭川医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

$\alpha=x+iy$（$x,y\text{ は実数},\ y\ne0$）、$q=|\alpha|^2=\alpha\overline\alpha>0$ とおく。中心が $\beta$ で原点を通る円 $C$ の方程式は $$G(z):=z\overline z-\overline\beta z-\beta\overline z=0.$$ $z=\alpha,\alpha^2$ を代入すると $$\alpha\overline\beta+\overline\alpha\beta=q,\qquad \alpha^2\overline\beta+\overline\alpha^2\beta=q^2.$$ 第2式から第1式の $\alpha$ 倍を引くと $$\overline\alpha(\overline\alpha-\alpha)\beta=q(q-\alpha).$$ $y\ne0$ より $\overline\alpha-\alpha\ne0$、また $\overline\alpha\ne0$ だから、 $$\displaystyle \beta=\frac{\alpha^2(\overline\alpha-1)}{\overline\alpha-\alpha}.$$

この式とその共役を用いると $$\overline\beta\alpha^3+\beta\overline\alpha^3=q^2(2x-1),$$ したがって $$G(\alpha^3)=q^3-q^2(2x-1) =q^2\bigl((x-1)^2+y^2\bigr)>0.$$ よって 点 $\alpha^3$ は円 $C$ 上にない。

また、$\alpha\ne0$ かつ $\overline\alpha\ne1$（$y\ne0$）なので、先の式から $\beta\ne0$。 $$\displaystyle \frac{\alpha^3}{\beta} =\frac{\alpha(\overline\alpha-\alpha)}{\overline\alpha-1} =\frac{2y^2-2ixy}{(x-1)-iy}.$$ 分母の絶対値の2乗は $(x-1)^2+y^2>0$ なので、有理化して $$\displaystyle \operatorname{Re}\frac{\alpha^3}{\beta} =\frac{2y^2(2x-1)}{(x-1)^2+y^2}.$$ $y\ne0$ から、これが正となる条件は $\displaystyle x>\frac12$。

最後に実数 $t$ に対して $$G(t\alpha^3)=t^2q^3-tq^2(2x-1) =tq^2\bigl(tq-(2x-1)\bigr).$$ 非零の $t$ で $G(t\alpha^3)=0$ となるものが存在するのは $2x-1\ne0$ のときで、その値は $t=(2x-1)/q$。よって、どの非零実数 $t$ に対しても 点 $t\alpha^3$ が円 $C$ 上にない条件は $\displaystyle x=\frac12$ である。もとの条件 $y\ne0$ を合わせると、求める集合は $$\displaystyle \alpha=\frac12+iy\qquad(y\text{ は }0\text{ でない実数})\quad\text{で表される点全体},$$ すなわち直線 $\displaystyle \operatorname{Re}\alpha=\frac12$ から実軸上の点 $\displaystyle \frac12$ を除いた集合である。

小問(4)の集合を複素数平面に表すと、実部が $1/2$ の縦直線で、実軸との交点 $1/2$ は除く。下図の白丸は集合に含まれない点を表す。

複素数平面の円の方程式へα, α²を代入して中心を決定する。得た中心を使ってα³および実数倍tα³の円上判定を行い、問3はα³/βの実部を整理する。