2琉球大学 2012年 数学 第2問解答・解説

無作為な2枚同時抽出では、すべての組合せが等確率で、その総数は$\displaystyle \binom{N}{2}=\frac{N(N-1)}2$である。$X=i$となるのは、iと組み合わせる相手が1,...,i-1のi-1通りなので、$\displaystyle p_i=\frac{i-1}{\binom{N}{2}}=\frac{2(i-1)}{N(N-1)}$。$Y=i$となるのは、相手がi+1,...,NのN-i通りなので、$\displaystyle q_i=\frac{N-i}{\binom{N}{2}}=\frac{2(N-i)}{N(N-1)}$。端の値$i=1$または$i=N$でも式は確率0を与える。期待値は定義どおり和をとり、$\displaystyle E_1=\sum\limits _{i=1}^{N}ip_i=\frac{\sum\limits _{i=1}^{N}(i^2-i)}{\binom{N}{2}}=\frac{N(N+1)(N-1)}{3}\cdot\frac{2}{N(N-1)}=\frac{2(N+1)}3$。$\displaystyle E_2=\sum\limits _{i=1}^{N}iq_i=\frac{\sum\limits _{i=1}^{N}i(N-i)}{\binom{N}{2}}=\frac{N(N+1)(N-1)}{6}\cdot\frac{2}{N(N-1)}=\frac{N+1}3$。