4琉球大学 2012年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n\theta\,d\theta \qquad(n=1,2,3,\ldots)$$

問1 $$\displaystyle I_1=\int_0^{\pi/4}\tan\theta\,d\theta =\left[-\log(\cos\theta)\right]_0^{\pi/4} =\frac12\log 2.$$ また、$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$ より $$\displaystyle \begin{aligned} I_n+I_{n+2} &=\int_0^{\pi/4}\tan^n\theta(1+\tan^2\theta)\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/4}\tan^n\theta\sec^2\theta\,d\theta\\ &=\int_0^1 u^n\,du\quad(u=\tan\theta)\\ &=\frac{1}{n+1}. \end{aligned}$$ したがって $\displaystyle \boxed{I_1=\frac12\log 2}$、$\displaystyle \boxed{I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}}$。

単元・方法・テーマ 単元：数学II「三角関数」、数学III「定積分・置換積分」。方法：$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$ を用い、$u=\tan\theta$ と置換する。テーマ：三角関数の累乗の積分と、添字を2つずらす漸化式。

問2 $0\leq\theta\leq\pi/4$ では $0\leq\tan\theta\leq1$ である。よって $$\tan^n\theta-\tan^{n+1}\theta =\tan^n\theta(1-\tan\theta)\geq0.$$ 両辺を $0$ から $\pi/4$ まで積分すると $$I_n-I_{n+1}\geq0,$$ すなわち $\boxed{I_n\geq I_{n+1}}$ を得る。

単元・方法・テーマ 単元：数学II「三角関数」、数学III「定積分と不等式」。方法：被積分関数を点ごとに比較してから積分する。テーマ：$I_n$ の単調性。

問3 問2から $I_n\geq I_{n+2}$ である。問1の関係式より $$\displaystyle 2I_n\geq I_n+I_{n+2}=\frac{1}{n+1}, \qquad I_n\geq\frac{1}{2(n+1)}.$$ 同じ関係式で $n$ を $n+2$ に置き換えると $$\displaystyle I_{n+2}+I_{n+4}=\frac{1}{n+3}.$$ さらに問2から $I_{n+2}\geq I_{n+4}$ なので $$\displaystyle I_{n+2}\geq\frac{1}{2(n+3)}.$$ これを $I_n+I_{n+2}=1/(n+1)$ に用いると $$\displaystyle I_n\leq\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+3)}.$$ 以上から $$\displaystyle \frac{n}{2(n+1)}\leq nI_n \leq\frac{n}{n+1}-\frac{n}{2(n+3)}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $1/2$ に収束する。はさみうちの原理により $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}nI_n=\frac12}.$$

単元・方法・テーマ 単元：数学III「定積分・数列の極限」。方法：問1の漸化式と問2の単調性で上下から評価し、はさみうちの原理を使う。テーマ：積分列の漸近評価。