3九州大学 2003年 数学 第3問解答・解説

{ 準備}

$p$ は自然数だから,関数 $f(x)=x^{p}$ は $0\le x_1<x_2$ なら $f(x_1)<f(x_2)$ となる。単位正方形とは格子点 $(i,j)$($i,j$ は整数)を左下頂点とする開区間の直積 $$\square_{i,j}=\{(x,y)\mid i<x<i+1,\ j<y<j+1\}$$ (周は含まない)であり,以下このように番号付ける。$D_n=\{(x,y)\mid 0\leqq x,\ x^{p}\leqq y\leqq n\}$ は $0\leqq x\leqq n^{1/p}$,$x^{p}\leqq y\leqq n$ の範囲にある有界な図形である。

{ (1)}

$j=0,1,\dots ,n-1$ に対し,$y=x^{p}$ のグラフの高さが $j\le y\le j+1$ を満たすときの $x$ の範囲 $I_j$ を $$j^{1/p}\le x\le(j+1)^{1/p}$$ とする($f$ は単調増加なので $I_j$ の中で $f(x)$ は $j\le f(x)\le j+1$ のすべての値をとる)。$f$ は $0\le x\le n^{1/p}$ の範囲で $0$ から $n$ まで単調に増加する連続関数だから,$I_0,I_1,\dots ,I_{n-1}$ は端点だけを共有して $0\le x\le n^{1/p}$ の範囲を過不足なく分割する。

【主張】$I_j$ の内部($j^{1/p}<x<(j+1)^{1/p}$ の範囲)には整数は存在しない。

実際,整数 $m$ が $j^{1/p}<m<(j+1)^{1/p}$ を満たすと仮定すると,$f$ が単調増加であることから $$j<m^{p}<j+1$$ を得るが,$m^{p}$ は整数であり,連続する整数 $j$ と $j+1$ の間に整数は存在しないので矛盾する。よって主張が成り立つ。

したがって、ある整数 $i=i(j):=\lfloor j^{1/p}\rfloor$ を用いて $I_j$ 内のすべての $x$ が $i\le x\le i+1$ を満たし、1つの列に収まる。

$x$ が $I_j$ 内にあるとき $j\le x^p\le j+1$ である。$I_j$ の内部では $j<x^p<j+1$ となるため,グラフは正方形 $\square_{i(j),j}$ の内部を通る。端点でグラフが隣の正方形の境界に触れる場合があっても,単位正方形は周を含まないので別の正方形とは交わらない。

よって各 $j=0,1,\dots,n-1$ に対し,ちょうど1個の正方形 $\square_{i(j),j}$ とグラフが交わる。$j$ が異なると正方形の縦の番号も異なるため,この $n$ 個はすべて相異なる。

グラフは $0\leqq x\leqq n^{1/p}$, $0\leqq y\leqq n$ の範囲にあるので,これら以外の正方形とは交わらない。以上より,グラフ $y=x^{p}\ (0\leqq x\leqq n^{1/p})$ と交わる単位正方形はちょうど $n$ 個である。$\blacksquare$

{ (2)}

まず $S_n$ を定積分で求める。$f(x)=x^{p}$ は $0\le x\le n^{1/p}$ の範囲で連続だから $$\displaystyle S_n=\int_0^{n^{1/p}}\bigl(n-x^{p}\bigr)\,dx =\Bigl[\,nx-\frac{x^{p+1}}{p+1}\,\Bigr]_0^{n^{1/p}} =n\cdot n^{1/p}-\frac{\left(n^{1/p}\right)^{p+1}}{p+1} =n^{\frac{p+1}{p}}-\frac{n^{\frac{p+1}{p}}}{p+1}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{S_n=\frac{p}{p+1}\,n^{\frac{p+1}{p}}.}$$

次に不等式 $M_n<S_n<M_n+n$ を示す。$0\leqq j\leqq n-1$ をみたす各整数 $j$ について,列番号 $i$ にわたる正方形 $\square_{i,j}$ は,(1)で述べた対応により次の3通りのいずれかに分類される。

・ sep0pt

・ $D_n$ に完全に含まれる(正方形のすべての点で $x^{p}\leqq y\leqq n$ が成り立つ)

・ グラフと交わる(=(1)の $n$ 個の正方形のうちの1つ。この正方形の内部はグラフによって,$D_n$ の内側($x^{p}<y$)の部分と外側($x^{p}>y$)の部分の2つの空でない開領域に分けられる)

・ $D_n$ と共通部分をもたない

(境界 $y=n$ と $x=0$ はいずれも格子線に一致しているため,正方形を「部分的にしか含まない」原因になり得るのはグラフ $y=x^{p}$ のみである。)

定義より,$D_n$ に完全に含まれる正方形の個数はちょうど $M_n$ 個であり,グラフと交わる正方形は(1)よりちょうど $n$ 個である。

$S_n$ は $D_n$ の面積であるから $$\displaystyle S_n=\underbrace{M_n\times 1}_{\text{完全に含まれる正方形の寄与}}+\sum(\text{グラフと交わる各正方形内で } D_n \text{ が占める部分の面積})$$ と表せる。グラフと交わる正方形はどれも,その内部がグラフによって2つの正の面積をもつ開領域に分けられるから,各正方形での $D_n$ の占有面積は $0$ より大きく $1$ より小さい。これが $n$ 個あるから,その総和は $0$ より大きく $n$ より小さい。よって $$M_n<S_n<M_n+n.$$ $\blacksquare$

{ (3)}

$M=\lfloor n^{1/p}\rfloor$(すなわち $M$ は $M^{p}\leqq n$ をみたす最大の整数)とおく。

まず $L_n$ を求める。整数 $x=m\ (0\leqq m\leqq M)$ の列には,$m^{p}\leqq y\leqq n$ をみたす整数 $y$ がちょうど $n-m^{p}+1$ 個あるから $$\displaystyle \begin{aligned} L_n&=\sum\limits _{m=0}^{M}\bigl(n-m^{p}+1\bigr) =(n+1)(M+1)-\sum\limits _{m=0}^{M}m^{p}\\ &=(n+1)+\sum\limits _{m=1}^{M}\bigl(n+1-m^{p}\bigr)\\ &=(n+1)+M+\sum\limits _{m=1}^{M}\bigl(n-m^{p}\bigr). \end{aligned}$$

一方,(2)の $M_n$ の定義から,$M_n$ は $(i+1)^p\leqq j\leqq n-1$ を満たす0以上の整数の組 $(i,j)$ の個数である。$k=i+1$($k\geqq1$)とおくと,$k$ を固定したときの $j$ の個数は($k^{p}\leqq n-1$ のとき)$n-k^{p}$ 個であるから,$K$ を「$k^{p}\leqq n-1$(すなわち $k^{p}<n$)をみたす最大の整数」として $$\displaystyle M_n=\sum\limits _{k=1}^{K}\bigl(n-k^{p}\bigr).$$ $K$ と $M$ の関係を見ると,$M^{p}<n$ のときは $K=M$ であり,$M^{p}=n$($n$ が $p$ 乗数)のときは $K=M-1$ であるが,この場合 $k=M$ の項は $n-M^{p}=0$ なので,いずれの場合も $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{M}\bigl(n-k^{p}\bigr)=\sum\limits _{k=1}^{K}\bigl(n-k^{p}\bigr)=M_n$$ が成り立つ(余分な項があれば値 $0$ だから和を変えない)。

これを上の $L_n$ の式に代入すると $$L_n=(n+1)+M+M_n=M_n+n+M+1. \tag{$\ast$}$$

次に (2) の不等式 $M_n<S_n<M_n+n$ の各辺を $\displaystyle n^{\frac{p+1}{p}}\,(>0)$ で割ると,$\displaystyle S_n=\dfrac{p}{p+1}n^{\frac{p+1}{p}}$ であることから $$\displaystyle \frac{p}{p+1}-n^{-\frac1p}<\frac{M_n}{n^{\frac{p+1}{p}}}<\frac{p}{p+1}.$$ $n\to\infty$ のとき $n^{-1/p}\to0$ だから,はさみうちの原理より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{M_n}{n^{\frac{p+1}{p}}}=\frac{p}{p+1}.$$

さらに $(\ast)$ より $$\displaystyle n^{-\frac{p+1}{p}}L_n=n^{-\frac{p+1}{p}}M_n+n^{-\frac{p+1}{p}}n+n^{-\frac{p+1}{p}}M+n^{-\frac{p+1}{p}}.$$ ここで $\displaystyle n^{-\frac{p+1}{p}}\cdot n=n^{-\frac1p}\to0$,また $0\leqq M\leqq n^{1/p}$ より $\displaystyle 0\leqq n^{-\frac{p+1}{p}}M\leqq n^{-\frac{p+1}{p}}\cdot n^{1/p}=n^{-1}\to0$,さらに $\displaystyle n^{-\frac{p+1}{p}}\to0$ である。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}n^{-\frac{p+1}{p}}L_n=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{M_n}{n^{\frac{p+1}{p}}}=\frac{p}{p+1}.$$

以上より $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty} n^{-\frac{p+1}{p}}L_n=\frac{p}{p+1}.}$$

{ 検算}

$p=1$ のとき $D_n$ は3頂点 $(0,0),(0,n),(n,n)$ の直角二等辺三角形で $S_n=n^2/2$。公式 $\displaystyle \frac{p}{p+1}n^{(p+1)/p}=\frac12 n^2$ と一致。$p=2,n=3$ のとき直接計算で $\displaystyle S_3=\int_0^{\sqrt3}(3-x^2)dx=2\sqrt3$,公式 $\displaystyle \frac23\cdot3^{3/2}=2\sqrt3$ で一致。また $M_3=2$($(i,j)=(0,1),(0,2)$)で $2<2\sqrt3\,(\approx3.46)<2+3=5$ を満たす。格子点は $x=0$ で $y=0,1,2,3$,$x=1$ で $y=1,2,3$ の計 $L_3=7$ で,関係式 $(\ast)$: $M_3+n+M+1=2+3+1+1=7$ と一致し,検算できた。