2九州大学 2003年 数学 第2問解答・解説

(1) $u=x-4,v=y-5$ とおくと $2|u|+|v|\le3$。従って領域Aは $$(x,y)=(5.5,5),(4,8),(2.5,5),(4,2)$$ を頂点とする菱形の周と内部である。 (2) 領域Bの条件は、点 $(|x|,|y|)$ が領域Aに属することである。Aは第1象限に含まれるので、BはAとその両座標軸・原点に関する対称図形の和集合となる。下図の第1象限の菱形がA、4個の菱形全体がBで、いずれも境界を含む。

(3) $x$ が正整数ならBの条件から $x=3,4,5$。$n=|y|$ の整数候補は $$\begin{array}{c|c}x&n\\\hline3&4,5,6\\4&2,3,4,5,6,7,8\\5&4,5,6\end{array}.$$ $\log_x n$ が有理数なら、$x,n>1$ より正整数 $p,q$ を用いて $\log_x n=p/q$ と表せるので、$x^p=n^q$。従ってnはx以外の素因数を含めない。x=3では候補なし、x=4ではn=2,4,8、x=5ではn=5に限られる。逆にそれぞれの対数は $1/2,1,3/2,1$ で有理数となる。よって全ての点は $$\boxed{(4,\pm2),(4,\pm4),(4,\pm8),(5,\pm5)}.$$