11千葉大学 2016年 数学 第11問解答・解説

(1) 接線の傾きは$\cos t$なので、$x$座標が増える向きの単位接線ベクトルは $$\displaystyle \boldsymbol u=\frac{(1,\cos t)}{\sqrt{1+\cos^2t}}.$$ $Q$の$x$座標は$t$より大きく、$PQ=r$であるから $$\displaystyle Q=\left(t+\frac r{\sqrt{1+\cos^2t}},\ \sin t+\frac{r\cos t}{\sqrt{1+\cos^2t}}\right).$$

(2) $Q$の$y$座標を$g_r(t)$とすると $$\displaystyle g_r'(t)=\cos t-\frac{r\sin t}{(1+\cos^2t)^{3/2}}.$$ $t=\pi/4$は区間の内点なので、そこで最大となるには$g_r'(\pi/4)=0$が必要である。 これを解いて$r=(3/2)^{3/2}=3\sqrt6/4$を得る。 この値で実際に最大となることを確認する。$0<t<\pi/2$で $$\displaystyle g_r'(t)=\frac{\sin t}{(1+\cos^2t)^{3/2}}\{h(t)-r\},\qquad h(t)=\frac{\cos t}{\sin t}(1+\cos^2t)^{3/2}.$$ $\cos t/\sin t$と$(1+\cos^2t)^{3/2}$は、ともに正で、$t$ が大きくなると値が必ず小さくなるため、$0<t_1<t_2<\pi/2$ ならば $h(t_1)>h(t_2)$ が成り立つ。 $h(\pi/4)=r$より$g_r'$は$\pi/4$の前で正、後で負となる。 したがって両端を含む範囲$0\le t\le\pi/2$で$t=\pi/4$のとき最大となり、求める値は $$\displaystyle \boxed{r=\frac{3\sqrt6}{4}}.$$