12千葉大学 2016年 数学 第12問解答・解説

$$\text{(1)}\quad (m+n\sqrt p)(m-n\sqrt p)=1 \quad\text{より}\quad m^2-pn^2=1,\qquad (m-1)(m+1)=pn^2.$$ $$\displaystyle d=\gcd(m+1,n),\qquad x=\frac{m+1}{d},\qquad y=\frac nd$$ とおく。$d$ は $m+1,n$ の最大公約数だから、$x,y$ は互いに素な自然数である。また $$\displaystyle \begin{aligned} (m+n\sqrt p)(x-y\sqrt p) &=(mx-pny)+(nx-my)\sqrt p\\ &=\frac{m(m+1)-pn^2}{d}+\frac{n}{d}\sqrt p\\ &=\frac{m+1}{d}+\frac{n}{d}\sqrt p =x+y\sqrt p. \end{aligned}$$ ここで $x^2-py^2=((m+1)^2-pn^2)/d^2=2(m+1)/d^2>0$ であり、$x+y\sqrt p>0$ だから $x-y\sqrt p>0$。したがって上の等式を $x-y\sqrt p$ で割ることができ、 $$\displaystyle m+n\sqrt p=\frac{x+y\sqrt p}{x-y\sqrt p}$$ を得る。 $$\displaystyle \text{(2)}\quad m+n\sqrt p=\frac{x+y\sqrt p}{x-y\sqrt p}$$ を満たす互いに素な自然数 $x,y$ をとる。両辺を交差に掛けて実部と $\sqrt p$ の係数を比べると $$(m-1)x=pny,\qquad nx=(m+1)y.$$ $\gcd(x,y)=1$ と後者から $y\mid n$ である。$n=dy$ とおけば $m+1=dx$ となる。さらに $(m-1)(m+1)=pn^2$ にこれらを代入して $$(m-1)x=pdy^2$$ を得る。 $p\mid m^2-1$ であり、$p$ は2でない素数なので、$p\mid m-1$ と $p\mid m+1$ のちょうど一方が成り立つ。$p\mid m-1$ なら $p\nmid m+1$ であり、$m+1=dx$ より $p\nmid x$。一方、$p\mid m+1$ なら $p\nmid m-1$ であり、$(m-1)x=pdy^2$ と素数の性質から $p\mid x$。よって $$p\nmid x\quad\text{すなわち}\quad p\mid m-1\quad\text{すなわち}\quad m\equiv1\pmod p,$$ すなわち $x$ が $p$ で割り切れないことと、$m$ の $p$ による余りが1であることは同値である。

ノルム条件を因数分解し、最大公約数で約分した組を構成する。後半は素数による可除性を二場合に分ける。