9千葉大学 2016年 数学 第9問解答・解説

$z=\cos(2\pi/7)+i\sin(2\pi/7)$ とおくと、$z^7=1$ かつ $z\ne1$ である。

(1) 等比数列の和より $(z^7-1)/(z-1)=1+z+\cdots+z^6=0$ であるから、 $$\boxed{z+z^2+\cdots+z^6=-1}.$$

(2) $\alpha=z+z^2+z^4$ の共役複素数は $z^6+z^5+z^3$ なので、$\alpha+\bar\alpha=-1$。積を展開し、指数を7で割った余りで整理すると $$\alpha\bar\alpha=3+(z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)=3-1=2.$$ したがって $\alpha$ は $X^2+X+2=0$ の解であり、$(-1\pm\sqrt7 i)/2$ のいずれかである。その虚部は $\sin(2\pi/7)+\sin(3\pi/7)-\sin(\pi/7)>0$ である。これは $0<\pi/7<3\pi/7<\pi/2$ の範囲で正弦が増加することから分かる。よって $$\boxed{\alpha=(-1+\sqrt7 i)/2},\qquad\boxed{\alpha+\bar\alpha=-1,\ \alpha\bar\alpha=2}.$$

(3) $\displaystyle x^7-1=(x-1)\prod\limits _{k=1}^6(x-z^k)$ の両辺を微分して $x=1$ を代入すると $$\displaystyle \boxed{\prod\limits _{k=1}^6(1-z^k)=7}.$$

Tags. Unit: complex numbers and geometric sequences. Method: geometric sum, conjugation, exponent reduction using $z^7=1$, quadratic formula, derivative of a polynomial product. Theme: seventh roots of unity.

Quality comparison and disposition Independent derivation was saved before consulting the prior answer. The prior final result agrees: (1) -1; (2) alpha+conjugate(alpha)=-1, alpha*conjugate(alpha)=2, alpha=(-1+i*sqrt(7))/2; (3) 7.. Both old answers agree; the independent expansion has three unity terms and gives alpha*conjugate(alpha)=2. The original accepted result files and their evidence metadata remain untouched. Prior actual-result evidence was not independently validated, so actual model status stays UNVERIFIED.　 Disposition: mathematics PASS; source eligible; display matched; adopt this independent high-school solution.