7千葉大学 2016年 数学 第7問解答・解説

位置0にいる確率を $q_n$、位置jにいる確率を $p_{n,j}$ とする。1回の移動規則から、位置0では次も0に残る確率が $4/6=2/3$、1へ進む確率が $2/6=1/3$。正の位置では0へ戻る確率 $1/2$、同じ位置に残る確率 $1/6$、1つ右へ進む確率 $1/3$ である。したがって $$\displaystyle q_n=\frac23q_{n-1}+\frac12(1-q_{n-1}) =\frac12+\frac16q_{n-1},$$ $$\displaystyle p_{n,1}=\frac13q_{n-1}+\frac16p_{n-1,1},\qquad p_{n,j}=\frac13p_{n-1,j-1}+\frac16p_{n-1,j}\quad(j\ge2).$$

(1) $q_0=1,\ p_{0,j}=0\ (j\ge1)$ から順に計算すると $$(q_1,p_{1,1})=(2/3,1/3),$$ $$(q_2,p_{2,1},p_{2,2})=(11/18,5/18,1/9),$$ $$(q_3,p_{3,1},p_{3,2},p_{3,3}) =(65/108,1/4,1/9,1/27).$$ 3回で右へ進める回数は最大3なので、$a\ge4$ では確率0。これで全ての $a\ge0$ を場合分けできる。

(2) 漸化式の固定値 $q=1/2+q/6$ は $3/5$。したがって $$\displaystyle q_n-\frac35=\frac16\left(q_{n-1}-\frac35\right).$$ 初期値 $q_0=1$ から $$\displaystyle q_n=\frac35+\frac25\left(\frac16\right)^n.$$

(3) $r_n=p_{n,1}$ とおけば $r_0=0,\ r_n=r_{n-1}/6+q_{n-1}/3$。これを繰り返して $$\displaystyle r_n=\frac13\sum\limits _{k=0}^{n-1}\left(\frac16\right)^{n-1-k}q_k.$$ (2)の式を入れて等比和を計算すると $$\displaystyle r_n=\frac6{25}\left(1-\frac1{6^n}\right)+\frac{4n}{5\cdot6^n} =\frac6{25}+\frac{20n-6}{25\cdot6^n}.$$

答え

(1) $\displaystyle a=0:\frac{65}{108};\ a=1:\frac14;\ a=2:\frac19;\ a=3:\frac1{27};\ a\ge4:0$。 (2) $\displaystyle \frac35+\frac{2}{5\cdot6^n}$。 (3) $\displaystyle \frac6{25}+\frac{20n-6}{25\cdot6^n}$。