2千葉大学 2016年 数学 第2問解答・解説

(1) 辺 $AB$ の直線は $\displaystyle \frac{x}{5}+\frac{y}{11}=1$、すなわち $\displaystyle y=11-\frac{11}{5}x$ である。内部の格子点では $x=1,2,3,4$ であり、それぞれの $x$ に対する正の整数 $y$ の個数は次の通りである。 $$\begin{array}{c|cccc} x&1&2&3&4\\ \hline \text{個数}&8&6&4&2\\ \end{array}$$ したがって、内部の格子点は $8+6+4+2=20$ 個である。

(2) 辺 $PQ$ の直線は $\displaystyle \frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$ である。三角形 $OPQ$ の内部では $1\le x\le m-1$ および $\displaystyle 1\le y<\frac{n(m-x)}{m}$ を満たす。したがって、内部格子点数は $\displaystyle 1\le y<\frac{n(m-x)}{m}$ を満たす整数 $y$ の個数を、整数 $x=1,2,\ldots,m-1$ について足し合わせた値 $N(m,n)$ である。$1\le m\le5$、$1\le n\le11$ の各組についてこの整数条件を数えると、次の表を得る。 $$\begin{array}{c|rrrrrrrrrrr} m\backslash n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 2&0&0&1&1&2&2&3&3&4&4&5\\ 3&0&1&1&3&4&4&6&7&7&9&10\\ 4&0&1&3&3&6&7&9&9&12&13&15\\ 5&0&2&4&6&6&10&12&14&16&16&20\\ \end{array}$$ (1) の半分は $10$ 個なので、該当する組は $\boxed{(m,n)=(3,11),(5,6)}$ である。