5千葉大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$T=\triangle BCD$ とする。$0\leq k<1$ のとき、重みの和 $s+t+u=1-k$ を正規化して $Q=(sB+tC+uD)/(1-k)$ と置けば、点 $Q$ は三角形 $T$ の内部または周上にあり $$P=kA+(1-k)Q,\qquad P-A=(1-k)(Q-A).$$ 従って $E(k)$ は三角形 $T$ を $A$ を中心として相似比 $1-k$ で移した図形である。

**(1)** $k=1$ なら $s=t=u=0$ なので $P=A$。$k=0$ なら $P=sB+tC+uD$ で、係数 $s,t,u$ は0以上、和は1となるすべての場合をとる。よって $E(1)=\{A\}$、$E(0)=T$。

**(2)** $k=1/3$ の相似比は $2/3$。したがって像の頂点はそれぞれ $$\displaystyle A+\frac23(B-A)=\frac{A+2B}{3},\quad A+\frac23(C-A)=\frac{A+2C}{3},\quad A+\frac23(D-A)=\frac{A+2D}{3}.$$

**(3)** $A$ を原点とし、$M$ は対角線 $AC$ と $BD$ の交点なので $M=\lambda C=\alpha B+(1-\alpha)D$ と表す。ただし $\lambda=AM/AC$、$0<\lambda<1$、$0<\alpha<1$。三角形 $T$ の内部または周上の任意の点 $Q$ を $Q=xB+yD+zC$（$x,y,z\geq0$、$x+y+z=1$）と表すと $$\displaystyle Q=\left(x+\frac{z\alpha}{\lambda}\right)B +\left(y+\frac{z(1-\alpha)}{\lambda}\right)D.$$ この2係数の和は $L=1-z+z/\lambda$ なので $1\leq L\leq1/\lambda$。方向（2係数の比）を固定したとき、$T$ 上での点の距離に比例する尺度 $L$ は近い辺 $BD$ 上で $1$、遠い辺上でも高々 $1/\lambda$ であり、その最大比 $1/\lambda$ は直線 $AC$ 上の $M,C$ で実現する。従って、原点から同じ半直線上での $T$ と交わる部分を、原点からの距離 $\rho$ を用いて $r_0\le\rho\le r_1$ と表せば、最大の比 $r_1/r_0$ は $AC/AM=1/\lambda$。

$E(k)$ の相似比 $r=1-k$ は $1/2\le r\le2/3$ を動く。その半直線上で $E(k)$ が占める範囲は $rr_0\le\rho\le rr_1$ だから、すべての $k$ に共通する点があるための条件は $$\displaystyle \frac23r_0\le\frac12r_1,\qquad\text{すなわち }\frac{r_1}{r_0}\geq\frac43.$$ 最大比が $AC/AM$ であることから、必要十分条件は $$\displaystyle \frac{AC}{AM}\geq\frac43,\qquad\text{すなわち }AM\leq\frac34AC.$$ このとき交わりの半直線上の点は全ての中間相似比でも $T$ の相似像に属する。