6千葉大学 2016年 数学 第6問解答・解説

$0\le t\le1$, $0<a<2$ とする。四角形 $ABCD$ を対角線 $AC$ で二つの三角形に分ける。2ベクトル $\boldsymbol u=(u_1,u_2)$、$\boldsymbol v=(v_1,v_2)$ に対し、$D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=u_1v_2-u_2v_1$ とおく。この2辺をもつ三角形の面積は、内積と面積の公式から $\displaystyle \frac12\sqrt{|\boldsymbol u|^2|\boldsymbol v|^2-(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v)^2}=\frac12|D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)|$ である。座標差を用いて計算すると $$\begin{aligned} D(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}) & =4-2t-2t^2+2t^3=2\{1+(1-t)(1-t^2)\}>0,\\ D(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) & =(2-2t)(2-at)+2t>0. \end{aligned}$$ 二つの三角形の面積を足すと $$\displaystyle \begin{aligned} S(t)&=\frac12\left\{4-2t-2t^2+2t^3+(2-2t)(2-at)+2t\right\}\\ &=t^3+(a-1)t^2-(a+2)t+4. \end{aligned}$$ 導関数を因数分解すると $$\displaystyle S'(t)=3t^2+2(a-1)t-(a+2)=3(t-r_+)(t-r_-),\qquad r_\pm=\frac{1-a\pm\sqrt{a^2+a+7}}{3}.$$ $\sqrt{a^2+a+7}>|1-a|$ より $r_-<0<r_+$。従って $t\ge0$ では $t<r_+$ で $S'(t)<0$、$t>r_+$ で $S'(t)>0$ となる。さらに $$r_+\ge1\quad\text{すなわち}\quad \sqrt{a^2+a+7}\ge a+2\quad\text{すなわち}\quad a\le1.$$ 以上から $$\displaystyle \boxed{\begin{cases} t=1,&0<a\le1,\\[2pt] \dfrac{1-a+\sqrt{a^2+a+7}}{3},&1<a<2. \end{cases}}$$