1東北大学 2013年 数学 第1問解答・解説

・ $f(x)=x^3-kx^2-1$ の3解を $\alpha,\beta,\gamma$ とする。解と係数の関係から $$\alpha+\beta+\gamma=k,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0,\qquad \alpha\beta\gamma=1.$$ $g(x)$ の3解は $\alpha\beta,\beta\gamma,\gamma\alpha$ だから、それらの和は $0$、2つずつの積の和は $$(\alpha\beta)(\beta\gamma)+(\beta\gamma)(\gamma\alpha)+(\gamma\alpha)(\alpha\beta) =\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=k,$$ 積は $(\alpha\beta\gamma)^2=1$ である。したがって $$g(x)=x^3-0x^2+kx-1=x^3+kx-1.$$

・ 共通解を $r$ とすると、$f(r)=g(r)=0$ より $$0=f(r)-g(r)=-kr^2-kr=-kr(r+1).$$ $k=0$ なら $f(x)=g(x)=x^3-1$ であり、共通解をもつ。$k\ne0$ のときは $r=0$ または $r=-1$ だが、$r=0$ は $f(0)=g(0)=-1$ より不可能である。$r=-1$ なら $$f(-1)=g(-1)=-k-2=0$$ となるので $k=-2$ である。この値では $-1$ が両方の方程式の解となる。よって求める値は $k=0,-2$ である。

元の三根の和・二根積和・三根積を使って、積根を解にもつ三次式を作る。共通根なら二式の差からk=0または根r=0,−1となる。r=0は方程式を満たさず、r=−1はk=−2に限る。最後に各候補で共通根を確認する。