3岩手医科大学 2019年 数学 第3問解答・解説

問1

主軸方向およびそれに垂直な方向の座標を $$\displaystyle u=\frac{x+y}{\sqrt{2}},\qquad v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$$ とおく。このとき焦点はそれぞれ $(2,0),(-2,0)$ となる。双曲線上の点と2焦点との距離の差は $2a$ であるから $a=\sqrt{3}$ であり、焦点距離は $c=2$ である。$c^2=a^2+b^2$ より $b^2=1$ なので、$C$ の方程式は $$\displaystyle \frac{u^2}{3}-v^2=1$$ となる。$u,v$ を $x,y$ で表すと $$\displaystyle \frac{(x+y)^2}{6}-\frac{(x-y)^2}{2}=1,$$ したがって $$x^2-4xy+y^2=-3.$$ よって $\text{ア}=4,\ \text{イ}=-,\ \text{ウ}=3$ である。

問2

直線 $l$ 上では $u=2\sqrt{3}$ であるから、双曲線の式に代入して $$4-v^2=1,\qquad v=\pm\sqrt{3}$$ を得る。逆変換 $x=(u+v)/\sqrt{2},\ y=(u-v)/\sqrt{2}$ によれば、$v=\sqrt{3}$ のとき $x$ が大きい。したがって $$\displaystyle A=\left(\frac{3\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{6}}{2}\right).$$ 原点中心の反時計回りの $\pi/4$ 回転では $$\displaystyle (x,y)\longmapsto\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}},\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$$ だから、回転後の座標は $(\sqrt{3},2\sqrt{3})$ である。

問3

積分区間では $0\le x\le\sqrt{3}/2<1$ であり、分母は0にならない。また $$\displaystyle \frac{1}{(1-x^2)^2} =\frac12\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x^2}\right)+\frac{1}{2(1-x^2)}$$ であり、$\displaystyle\int\frac{dx}{1-x^2}=\frac12\log\frac{1+x}{1-x}$ より $$\displaystyle \int\frac{dx}{(1-x^2)^2} =\frac{x}{2(1-x^2)}+\frac14\log\frac{1+x}{1-x}.$$ これを $0$ から $\sqrt{3}/2$ まで評価すると $$\displaystyle \sqrt{3}+\frac14\log\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} =\sqrt{3}+\frac12\log(2+\sqrt{3}),$$ となる。最後の変形では $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$ を用いた。したがって $\text{シ}=3,\ \text{ス}=1,\ \text{セ}=2,\ \text{ソ}=2,\ \text{タ}=3$ である。

問4

$u=2\sqrt{3}$ と双曲線の交点では $v=\pm\sqrt{3}$ である。囲まれた部分では双曲線の右側の枝が $u=\sqrt{3(1+v^2)}$ と表され、$-\sqrt{3}\le v\le\sqrt{3}$ では直線がその右側にある。回転座標の変換は面積を変えないので、求める面積 $S$ は $$\displaystyle S=\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\left(2\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{1+v^2}\right)\,dv =12-\sqrt{3}\int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+v^2}\,dv.$$ 部分積分を行い、$v^2=(1+v^2)-1$ とすると $$\displaystyle \int\sqrt{1+v^2}\,dv =v\sqrt{1+v^2}-\int\frac{v^2}{\sqrt{1+v^2}}\,dv =v\sqrt{1+v^2}-\int\sqrt{1+v^2}\,dv+\int\frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}.$$ ここで $\log(v+\sqrt{1+v^2})$ の導関数は $1/\sqrt{1+v^2}$ であり、$v+\sqrt{1+v^2}>0$ である。よって $$\displaystyle \int\sqrt{1+v^2}\,dv =\frac12\left(v\sqrt{1+v^2}+\log\left(v+\sqrt{1+v^2}\right)\right).$$ よって $$\displaystyle \int_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{1+v^2}\,dv =2\sqrt{3}+\frac12\log\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} =2\sqrt{3}+\log(2+\sqrt{3}).$$ したがって $$S=12-\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+\log(2+\sqrt{3})\right) =6-\sqrt{3}\log(2+\sqrt{3}).$$ よって $\text{チ}=6,\ \text{ツ}=3,\ \text{テ}=2,\ \text{ト}=3$ である。