1岩手医科大学 2019年 数学 第1問解答・解説

サイコロに○の書かれた面がm面あるとき、1回振って○の面が出る確率はm/6である。3回のうち○の面がk回出る確率は$\displaystyle \binom{3}{k}(m/6)^k(1-m/6)^{3-k}$であり、次の操作後には2k面に○が書かれる。したがって、○の面数が2面のとき、次の面数が0,2,4,6面となる確率はそれぞれ$8/27,4/9,2/9,1/27$である。また4面のときはそれぞれ$1/27,2/9,4/9,8/27$である。0面と6面からは、それぞれ0面と6面に必ず移る。

最初は2面に○があるので、1回目の操作後は$p_1=4/9,\ q_1=2/9,\ r_1=1/27$である。2回目の操作後に0面となる確率は、1回目の操作後にすでに0面である場合も含める。0面からは次の操作でも0面のままなので、$$\displaystyle \frac{8}{27}+p_1\cdot\frac{8}{27}+q_1\cdot\frac{1}{27}=\frac{8}{27}+\frac49\cdot\frac{8}{27}+\frac29\cdot\frac{1}{27}=\frac{106}{243}.$$ 全面に○がある確率は$$\displaystyle p_1\cdot\frac{1}{27}+q_1\cdot\frac{8}{27}+r_1=\frac49\cdot\frac{1}{27}+\frac29\cdot\frac{8}{27}+\frac{1}{27}=\frac{29}{243}.$$ よって問1の答えを得る。

次の面数が2面となるには直前が2面または4面であり、その確率はそれぞれ$4/9,2/9$である。次が4面となる確率は直前が2面、4面のときそれぞれ$2/9,4/9$なので、$$\displaystyle p_{n+1}=\frac49p_n+\frac29q_n,\qquad q_{n+1}=\frac29p_n+\frac49q_n.$$ また初期値は$p_0=1, q_0=0$である。

この2式を加えると$\displaystyle p_{n+1}+q_{n+1}=\frac23(p_n+q_n)$、引くと$\displaystyle p_{n+1}-q_{n+1}=\frac29(p_n-q_n)$となる。初期値より$p_0+q_0=p_0-q_0=1$だから、$$\displaystyle p_n+q_n=\left(\frac23\right)^n,\qquad p_n-q_n=\left(\frac29\right)^n.$$ これらを加減して$$\displaystyle p_n=\frac12\left\{\left(\frac23\right)^n+\left(\frac29\right)^n\right\},\qquad q_n=\frac12\left\{\left(\frac23\right)^n-\left(\frac29\right)^n\right\}$$を得る。分母は3と9であり、問3の条件$\text{ヌ}<\text{ノ}$にも合う。

次の操作後に6面となる確率は、直前が2面、4面、6面のときそれぞれ$1/27,8/27,1$である。したがって$$\displaystyle r_{n+1}-r_n=\frac1{27}p_n+\frac8{27}q_n=\frac16\left(\frac23\right)^n-\frac7{54}\left(\frac29\right)^n.$$ 初めは$r_0=0$なので、これを0からn-1まで足す。等比数列の和より$$\displaystyle r_n=\frac16\cdot\frac{1-(2/3)^n}{1-2/3}-\frac7{54}\cdot\frac{1-(2/9)^n}{1-2/9}=\frac12\left(1-\left(\frac23\right)^n\right)-\frac16\left(1-\left(\frac29\right)^n\right)=\frac13-\frac12\left(\frac23\right)^n+\frac16\left(\frac29\right)^n.$$ 例えば$n=1$では$r_1=1/27$、$n=2$では$r_2=29/243$となり、各操作の確率と一致する。