2岩手医科大学 2019年 数学 第2問解答・解説

agraph*{問1} $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ であり、$AB=OA=OB=1$ より、 $$1=|\vec b-\vec a|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b=2-2\vec a\cdot\vec b.$$ したがって $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\frac12$ である。$\angle AOB=\theta$ とすると $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ より $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt3}{2}$ だから、 $$\displaystyle [OAB]=\frac12\,OA\,OB\sin\theta=\frac{\sqrt3}{4}.$$

agraph*{問2} $\displaystyle BC=\frac{2\sqrt3}{3}$ と $OB=OC=1$ より、 $$\displaystyle |\vec c-\vec b|^2=\frac43=2-2\vec b\cdot\vec c,\qquad\therefore\quad\vec b\cdot\vec c=\frac13.$$ $P$ は直線 $BK$ 上にあり、$BK\perp OC$ だから $\overrightarrow{BP}\cdot\vec c=0$ である。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot\vec c=(\vec b+\overrightarrow{BP})\cdot\vec c=\vec b\cdot\vec c=\frac13.$$

agraph*{問3} $\vec b$ 方向の成分と、それに垂直な成分に分け、 $$\displaystyle \vec a=\frac12\vec b+\vec a_0,\qquad\vec c=\frac13\vec b+\vec c_0,\qquad\vec a_0\cdot\vec b=\vec c_0\cdot\vec b=0$$ とおく。すると $$\displaystyle |\vec a_0|=\sqrt{1-\left(\frac12\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad |\vec c_0|=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$ 4点 $O,A,B,C$ が同一平面上にないので、$\vec a_0$ と $\vec c_0$ は平行でない。両者のなす角を $0<\phi<\pi$ とする。 $|\vec c_0|$ は一定で、$\vec c_0$ は $\vec b$ に垂直な平面内で任意の向きに選べるので、$0<\phi<\pi$ のすべての角度が実現する。 このとき、 $$\displaystyle \vec c\cdot\vec a=\frac16+\vec c_0\cdot\vec a_0=\frac16+\frac{\sqrt6}{3}\cos\phi.$$ $-1<\cos\phi<1$ であるから、 $$\displaystyle \frac{1-2\sqrt6}{6}<\vec c\cdot\vec a<\frac{1+2\sqrt6}{6}.$$

agraph*{問4} 平面 $OAB$ は $\vec b$ と $\vec a_0$ が張る平面なので、$C$ からこの平面までの高さは $|\vec c_0|\sin\phi$ である。したがって、 $$\displaystyle \operatorname{Vol}(OABC)=\frac13[OAB]|\vec c_0|\sin\phi=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}\sin\phi=\frac{\sqrt6}{18}\sin\phi.$$ これは $\displaystyle \phi=\frac{\pi}{2}$ のとき最大となり、そのとき $$\displaystyle \vec c\cdot\vec a=\frac16+\frac{\sqrt6}{3}\cos\frac{\pi}{2}=\frac16,\qquad\operatorname{Vol}_{\max}=\frac{\sqrt6}{18}.$$ $\displaystyle \phi=\frac{\pi}{2}$ は非共面条件を満たすので、この最大値は実際にとれる。