4九州大学 2015年 数学 第4問解答・解説

袋の中の赤玉の個数を $X_n$ とする（$n$ は操作の回数，$n=0$ は操作前）。初期状態は $X_0=2$ である。

1回の操作で，赤玉を取り出せば（確率 $\displaystyle \dfrac{X_{n-1}}{3}$）代わりに青玉を入れるので $X_n=X_{n-1}-1$，青玉を取り出せば（確率 $\displaystyle \dfrac{3-X_{n-1}}{3}$）代わりに赤玉を入れるので $X_n=X_{n-1}+1$ となる。すなわち $X_n$ は前の値から必ず $1$ だけ変化する。硬貨をもらうのは「3個すべて青玉」，すなわち $X_n=0$ となるときである。

(2) の証明

$X_n$ は1回ごとに $\pm1$ だけ変わるから，$X_n$ の偶奇は操作1回ごとに反転する。$X_0=2$ は偶数であるから，帰納的に $$X_n\equiv X_0+n\equiv n \pmod 2$$ が成り立つ。よって $n$ が奇数のとき $X_n$ は奇数であり，$X_n=0$（偶数）にはなり得ない。ゆえに奇数回目の操作で硬貨をもらうことはない。 $\blacksquare$

(2)より，硬貨をもらう可能性があるのは偶数回目に限られる。また $X_n$ の値 $0,1,2,3$ のうち偶数値は $0,2$ の2つだけであるから， $$Y_k=X_{2k}\qquad(k=0,1,2,\dots),\qquad Y_0=2$$ とおけば $Y_k$ は $0$ または $2$ である。$Y_k$ から $Y_{k+1}$ への遷移確率を，2回分の操作をまとめて求める。

$X=2$ から2回操作後

1回目：赤玉を取り出す確率 $\displaystyle \dfrac23$ で $X=1$，青玉を取り出す確率 $\displaystyle \dfrac13$ で $X=3$。 2回目：$X=1$ からは赤玉（確率 $\displaystyle \dfrac13$）で $X=0$，青玉（確率 $\displaystyle \dfrac23$）で $X=2$。$X=3$（すべて赤玉）からは必ず赤玉を取り出すので $X=2$。

よって $$\displaystyle P(Y_{k+1}=0\mid Y_k=2)=\frac23\cdot\frac13=\frac29,\qquad P(Y_{k+1}=2\mid Y_k=2)=\frac23\cdot\frac23+\frac13\cdot1=\frac49+\frac39=\frac79 .$$

$X=0$ から2回操作後

$X=0$（すべて青玉）のときは必ず青玉を取り出すので1回目で $X=1$。2回目は上と同じ遷移で，確率 $\displaystyle \dfrac13$ で $X=0$，確率 $\displaystyle \dfrac23$ で $X=2$。よって $$\displaystyle P(Y_{k+1}=0\mid Y_k=0)=\frac13,\qquad P(Y_{k+1}=2\mid Y_k=0)=\frac23 .$$

(1)

2回目の操作で硬貨をもらう確率は $P(Y_1=0\mid Y_0=2)$ であるから $$\displaystyle P(Y_1=0)=\frac29 .$$

(3)

「8回目の操作ではじめて硬貨をもらう」とは，$Y_0=2$ から出発して $Y_1=Y_2=Y_3=2$（まだ硬貨をもらわない）が続き，$Y_4=0$ となることである。$Y_k=2$ が続く間は次も $2$ になる確率が $\displaystyle \dfrac79$ であるから $$\displaystyle P(Y_1=Y_2=Y_3=2,\ Y_4=0)=\left(\frac79\right)^{3}\times\frac29=\frac{343}{729}\times\frac29=\frac{686}{6561}.$$

(4)

8回の操作でもらう硬貨の総数は，$k=1,2,3,4$ のうち $Y_k=0$ となる回数に等しい。ちょうど1枚もらう事象は，どの $k$ で $Y_k=0$ が起こるかにより，互いに排反な4つの場合に分かれる（他の $k$ ではすべて $Y_k=2$）。

(i) $k=1$ のみ $0$： $$\displaystyle \underbrace{\frac29}_{Y_0=2\to0}\cdot\underbrace{\frac23}_{Y_1=0\to2}\cdot\underbrace{\frac79}_{Y_2=2\to2}\cdot\underbrace{\frac79}_{Y_3=2\to2}=\frac{196}{2187}.$$

(ii) $k=2$ のみ $0$： $$\displaystyle \frac79\cdot\frac29\cdot\frac23\cdot\frac79=\frac{196}{2187}.$$

(iii) $k=3$ のみ $0$： $$\displaystyle \left(\frac79\right)^2\cdot\frac29\cdot\frac23=\frac{196}{2187}.$$

(iv) $k=4$ のみ $0$（(3)の事象そのもの）： $$\displaystyle \left(\frac79\right)^3\cdot\frac29=\frac{686}{6561}.$$

これらは互いに排反であるから，確率を加えて $$\displaystyle 3\times\frac{196}{2187}+\frac{686}{6561}=\frac{588}{2187}+\frac{686}{6561}=\frac{1764}{6561}+\frac{686}{6561}=\frac{2450}{6561}.$$

検算

(1)は $X_2$ が取り得る値を直接数え上げても同じ $\displaystyle \dfrac29$ が得られることを確認した。(3)は(4)の場合(iv)と完全に一致しており，2通りの計算経路（先頭からの直接追跡と，2状態遷移確率からの計算）が一致することを確認した。(4)については，各ステップで確率の総和が常に $1$ に保たれること（例えば $n=8$ 時点で「硬貨0枚」「ちょうど1枚」「2枚以上」の確率の和が $1$ になること）を最後まで追って確認済みである。