滋賀医科大学 2023年数学第4問解答・解説

積分法微分法指数関数・対数関数

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1問題

滋賀医科大学2023年度第4問

実数全体を定義域とする微分可能な関数 $f(x)$ は，常に $f(x)>0$ であり，等式 $\displaystyle f(x)=1+\int_{0}^{x}e^{t}(1+t)f(t)\,dt$ を満たしている。

(1) $f(0)$ を求めよ。

(2) $\log f(x)$ の導関数 $(\log f(x))'$ を求めよ。

(3) 関数 $f(x)$ を求めよ。

(4) 方程式 $\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ を解け。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$f(0)=1$
(2)
$(\log f(x))'=e^x(1+x)$
(3)
$f(x)=e^{x e^x}$
(4)
$x=-\log4,\quad -\log2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

問題文の $\log$ は自然対数とする。 $x=0$ を積分方程式に代入して $f(0)=1.$ 微積分の基本定理により $f'(x)=e^x(1+x)f(x).$ $f(x)>0$ なので対数を微分でき、 $\displaystyle (\log f(x))'=\frac{f'(x)}{f(x)}=e^x(1+x).$ $xe^x$ の導関数は $e^x(1+x)$ であるから、これを0からxまで積分すると $\log f(x)-\log f(0)=xe^x.$ 従って $f(x)=e^{xe^x}.$ 最後の方程式は $\displaystyle xe^x=-\frac{\log2}{2}.$ $x=-\log4$ と $x=-\log2$ はどちらもこれを満たす。 $h(x)=xe^x$ とおくと $h'(x)=e^x(1+x)$ であり、hは $x<-1$ で減少し、 $x>-1$ で増加する。さらに $\log4>1>\log2$ だから二候補はそれぞれ $-1$ の左と右にある。各区間での単調性から他の解はない。

微積分の基本定理から一次微分方程式を得る。正値条件が対数の微分を正当化する。最終方程式の二候補を代入で確認し、hの二つの単調区間が解を尽くす。

この問題で使う考え方

積分方程式の微分
対数微分
初期値による積分定数の決定
導関数による単調性

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