3広島大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $h(x)=(1-x)\cos x+x\sin x$、$\displaystyle J(x)=e^x\int_0^x e^{-t}f(t)\,dt$ とおくと、原式は $f=h-J$ である。$J(0)=0$ より $f(0)=h(0)=1$。

$f$ は連続なので、積の微分と微積分の基本定理から $$\displaystyle J'(x)=e^x\int_0^x e^{-t}f(t)\,dt+e^xe^{-x}f(x)=J(x)+f(x).$$ また $f+J=h$ であるから、 $$f'=h'-J'=h'-(f+J)=h'-h=2(x-1)\cos x.$$

(2) この式を積分すると $f(x)=2(x-1)\sin x+2\cos x+C$。$f(0)=1$ を代入すれば $C=-1$ なので、 $$\boxed{f(x)=2(x-1)\sin x+2\cos x-1}.$$

(3) $0\le x\le1$ では $f'(x)\le0$。また $1<\pi/3$ で、$\cos x$ は $0\leq x\leq\pi$ の範囲で減少するため、 $$\displaystyle \cos1>\cos(\pi/3)=\frac12,$$ 従って $f(1)=2\cos1-1>0$。ゆえに $0\leq x\leq1$ の範囲で $f>0$。$1\le x\le\pi/2$ では $f'\ge0$ なので、ここでも $f>0$。一方、$\pi/2<x<\pi$ では $f'<0$、かつ $f(\pi/2)=\pi-3>0$、$f(\pi)=-3<0$。連続性からこの範囲に零点があり、$f$ は減少して異なる $x$ に対して同じ値をとらないので、零点はただ1つである。

(4) (3)の零点を $\alpha$ とする。符号から $\displaystyle S_1-S_2=\int_0^\pi f(x)\,dx$。原始関数を用いて $$\displaystyle \int_0^\pi f(x)\,dx =\left[2(-x\cos x+\sin x+\cos x)+2\sin x-x\right]_0^\pi =\pi-4<0.$$ したがって $\boxed{S_1<S_2}$。