5広島大学 2019年 数学 第5問解答・解説

原点を $O$ とする座標平面上において，点 $A(0,3), B(0,-1)$ および $x$ 軸上の正の部分を動く点 $P(t,0)$ があり，$\angle APB$ は鈍角でないとする。$\triangle ABP$ の垂心を $H$，頂点 $A$ から辺 $BP$ に下ろした垂線と辺 $BP$ との交点を $D$，頂点 $B$ から辺 $PA$ に下ろした垂線と辺 $PA$ との交点を $E$ とする。次の問いに答えよ。ただし，三角形の各頂点から対辺，またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わることが知られている。その交点のことを，三角形の垂心という。

(1) $\angle APB$ が直角となる $t$ の値を求めよ。 　 (2) 点 $H$ の座標を $t$ を用いて表せ。 　 以下では，$t$ が(1)で求めた値よりも大きい値をとるとする。 　 (3) 点 $H$ が $\triangle ODE$ の内心であることを証明せよ。ただし，1組の対角の和が $180^\circ$ である四角形は円に内接することを，証明なしに利用してもよい。 　 (4) $\triangle ODE$ の内接円の半径を $t$ の関数 $f(t)$ として表せ。 　 (5) (4)で求めた関数 $f(t)$ は最大値をもつことを示せ。ただし，最大値を与える $t$ の値を求める必要はない。