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広島大学／2019年度／前期

広島大学 2019年 数学 第4問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面図形と方程式

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1問題

広島大学2019年度第4問

ii を虚数単位とし，複素数 zz に対して， w=z2+2z+1−2iw=z^{2}+2z+1-2i とおく。次の問いに答えよ。

(1) ww の実部が0となる複素数 zz 全体を複素数平面上に図示せよ。

(2) w=0w=0 を満たす複素数 zz の個数は2個であることを証明し，それぞれを a+bia+bi（a,ba,bは実数）の形に書き表せ。

(3) (2)で求めた二つの複素数のうち実部の大きい方を α\alpha，実部の小さい方を β\beta とし，対応する複素数平面上の点をそれぞれ A,BA,B とする。また，線分 ABAB の中点を MM とする。複素数 zz に対応する複素数平面上の点が，線分 AMAM 上（両端を含む）を動くとき，複素数 ww の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

(4) 複素数 zz に対応する複素数平面上の点が，点 AA を通り線分 ABAB に垂直な直線上を動くとき，複素数 ww の描く図形を複素数平面上に図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) y=±(x+1).(1)\space{}y=\pm(x+1).
    (2) z=i,−2−i.(2)\space{}z=i,-2-i.
    (3) w∈{iy:−2≦y≦0}.(3)\space{}w\in\{iy:-2\le y\le0\}.
    (4) Im⁡w=−18(Re⁡w)2.\displaystyle (4)\space{}\operatorname{Im}w=-\frac18(\operatorname{Re}w)^2.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

w=z2+2z+1−2i=(z+1)2−2i.w=z^2+2z+1-2i=(z+1)^2-2i. (1) z=x+iyz=x+iy とすると Re⁡w=(x+1)2−y2\operatorname{Re}w=(x+1)^2-y^2。これが0となるのは y=x+1またはy=−(x+1).\boxed{y=x+1\quad\text{または}\quad y=-(x+1)}.

(2) w=0w=0 は (z+1)2=2i=(1+i)2(z+1)^2=2i=(1+i)^2 なので z=i, −2−i.\boxed{z=i,\ -2-i}. 実部の大きい方は α=i\alpha=i、小さい方は β=−2−i\beta=-2-i。従って A=(0,1),B=(−2,−1),M=(−1,0)A=(0,1), B=(-2,-1), M=(-1,0)。

(3) 線分 AMAM を z=−t+i(1−t) (0≦t≦1)z=-t+i(1-t)\ (0\le t\le1) と表すと、 w=(z+1)2−2i=2i(1−t)2−2i.w=(z+1)^2-2i=2i(1-t)^2-2i. 従って像は虚軸上の 00 と −2i-2i を結ぶ線分。

(4) ABAB の傾きは1だから、Aを通りABに垂直な直線は z=x+i(1−x) (x は実数)z=x+i(1-x)\ (x\text{ は実数})。このとき w=((x+1)+i(1−x))2−2i=4x−2x2i.w=\bigl((x+1)+i(1-x)\bigr)^2-2i=4x-2x^2i. Re⁡w=4x\operatorname{Re}w=4x、Im⁡w=−2x2\operatorname{Im}w=-2x^2 より Im⁡w=−18(Re⁡w)2(Re⁡w はすべての実数をとる).\displaystyle \boxed{\operatorname{Im}w=-\frac18(\operatorname{Re}w)^2\quad(\operatorname{Re}w\text{ はすべての実数をとる})}.

この問題で使う考え方

  • 複素数平面
  • 直線の方程式
  • ベクトルの和・差・実数倍

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