3札幌医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

独立試行とみなす場合 各シュートの成否が互いに独立で、各回の成功確率が $p$ であると仮定する。$q=1-p$ とおく。

(1) 3回目で初めて成功するには、1回目、2回目が失敗し、3回目が成功すればよい。よってその確率は $$q^2p=p(1-p)^2$$ である。

(2) 事象 $A$ の余事象は3回とも失敗することだから $$P(A)=1-q^3=p(1+q+q^2).$$ 条件付き確率の条件から $$\displaystyle \frac{P(\text{3回目で初めて成功})}{P(A)} =\frac{q^2p}{p(1+q+q^2)} =\frac{q^2}{1+q+q^2} =\frac{25}{109}.$$ ここで $A$ が起こったという条件付き確率が与えられているので $p>0$ であり、約分はできる。したがって $$84q^2-25q-25=0,$$ $$\displaystyle q=\frac{25\pm\sqrt{25^2+4\cdot84\cdot25}}{168} =\frac{25\pm95}{168}.$$ $0\leq q\leq1$ より $\displaystyle q=\frac57$ を選び、 $$\displaystyle p=1-q=\frac27.$$ このとき、(1)の確率は $$\displaystyle pq^2=\frac27\left(\frac57\right)^2=\frac{50}{343}.$$

(3) 2回目で初めて成功する事象は、1回目が失敗し2回目が成功する事象であり、3回目の成否は問わない。その確率は $qp$ である。また $$\displaystyle P(A)=1-\left(\frac57\right)^3=\frac{218}{343}.$$ したがって $$\displaystyle P(\text{2回目で初めて成功}\mid A) =\frac{qp}{1-q^3} =\frac{\frac57\cdot\frac27}{\frac{218}{343}} =\frac{35}{109}.$$

独立性を仮定しない場合 原文には3回の成否が独立であるとの記載がない。各回の成功確率が同じ $p$ という周辺確率だけでは、(1)の同時確率や $P(A)$ は決まらない。実際、成功を1、失敗を0として、結果 $100,010,001$ のそれぞれに確率 $\displaystyle \frac{25}{109}$、結果 $110,101,011$ のそれぞれに確率 $\displaystyle \frac{34}{327}$ を与えるモデルを考える。これらの確率の和は1であり、各回の成功確率は $$\displaystyle \frac{25}{109}+2\cdot\frac{34}{327}=\frac{143}{327}$$ で等しい。このモデルでは必ず少なくとも1回成功するので $P(A)=1$。3回目で初めて成功する結果は $001$ だけで、その確率は $\displaystyle \frac{25}{109}$ であるため、問題文の条件付き確率を満たす。一方、2回目で初めて成功する結果 $010$ の確率も $\displaystyle \frac{25}{109}$ となる。したがって独立性なしでは $p$ も(3)の答えも一意に定まらない。上の $\displaystyle \frac27,\frac{50}{343},\frac{35}{109}$ は、独立同確率の試行と解釈した場合の結果である。