2金沢大学 2018年 数学 第2問解答・解説

(1) $C_1,C_2$ の共有点では $x>a$ かつ $\displaystyle k=\frac{e^x}{\sqrt{x-a}}>0$. $\displaystyle g(x)=\frac{e^x}{\sqrt{x-a}}$ とおくと $\displaystyle \frac{g^{\prime}(x)}{g(x)}=1-\frac1{2(x-a)}$. よって $\displaystyle g\text{ は }x=a+\frac12\text{ で最小となり、}\min\limits _{x>a}g(x)=\sqrt2\,e^{a+1/2}$. また $g(x)\to\infty\quad(x\to a+0,\ x\to\infty)$ なので、共有点が存在する条件は $k\ge\sqrt2e^{a+1/2}$.

(2) $P(t,e^t)$ で共有し接線が一致するから $\displaystyle e^t=k\sqrt{t-a},\qquad e^t=\frac{k}{2\sqrt{t-a}}$. 両式を割ると $\displaystyle t-a=\frac12$. したがって $\displaystyle a=t-\frac12,\qquad k=\sqrt2e^t$.

(3) $\ell$ は P における接線なので $y-e^t=e^t(x-t)$, すなわち $y=e^tx+e^t(1-t)$. 原点を通る条件から $t=1$, よって $\displaystyle a=\frac12,\qquad k=\sqrt2e$. このとき $\displaystyle 0\le x\le\frac12$ では高さ $e^x$, また $\displaystyle \frac12\le x\le1$ では高さ $\displaystyle e^x-\sqrt2e\sqrt{x-\frac12}$ の円筒殻を考える。

$\displaystyle V=2\pi\left[\int_0^{1/2}xe^x\,dx+\int_{1/2}^{1}x\left(e^x-\sqrt2e\sqrt{x-\frac12}\right)\,dx\right]=2\pi\left[\int_0^1xe^x\,dx-\sqrt2e\int_{1/2}^1x\sqrt{x-\frac12}\,dx\right]$. ここで $\displaystyle \int_0^1xe^x\,dx=1$. また $\displaystyle u=x-\frac12$ とすると

$\displaystyle \int_{1/2}^1x\sqrt{x-\frac12}\,dx=\int_0^{1/2}\left(u+\frac12\right)\sqrt u\,du=\frac{4}{15\sqrt2}$. よって $\displaystyle V=2\pi\left(1-\frac{4e}{15}\right)$.